3.2Q Um sólido
no primeiro octante tem seu volume calculado pela expressão:
Identifique o sólido e calcule o seu volume. Idem para:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e calcular o volume de dois sólidos dados pelas integrais duplas
e
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de integrais duplas para volume no primeiro octante.
Passo 2
A gente percebe que, para
, a projeção no plano
é
e em cada ponto dessa região o eixo
varia de
até
. Isso descreve um tetraedro com vértices
,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
Primeiro, integramos em
:
Em seguida, em
:
Passo 4
No segundo caso (
), a projeção no plano
é o quarto de disco
e em cada
a altura vai de
até
. Geometricamente, é o sólido limitado pelo cilindro
, pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 5
Calculamos
Separamos em
Logo
Resposta
O primeiro sólido é um tetraedro no primeiro octante determinado pelo plano
e tem volume
O segundo sólido fica sob o plano
acima do quarto de disco
no plano
, e seu volume é