3.2Q Um sólido Omega no primeiro octante tem seu volume calculado pela expressão:
vol(Omega)=integral0^1 integral0^1-x(1-x-y) d y d x
Identifique o sólido e calcule o seu volume. Idem para:
vol(Omega)=integral0^1 integral0^raiz1-x^2(1-x) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para identificar e calcular o volume de dois sólidos dados pelas integrais duplas
vol(Omega1)=integral0^1integral0^1-x(1-x-y),dy,dx
e
vol(Omega2)=integral0^1integral0^raiz1-x^2(1-x),dy,dx
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de integrais duplas para volume no primeiro octante.

Passo 2

A gente percebe que, para Omega1, a projeção no plano xy é
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1,
e em cada ponto dessa região o eixo z varia de 0 até 1-x-y. Isso descreve um tetraedro com vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Vamos calcular
integral0^1integral0^1-x(1-x-y),dy,dx
Primeiro, integramos em y:
integral0^1-x(1-x-y),dy =l[(1-x)y-tfracy^22r]0^1-x =(1-x)^2-tfrac(1-x)^22 =tfrac(1-x)^22
Em seguida, em x:
integral0^1tfrac(1-x)^22,dx =tfrac12integral0^1(1-2x+x^2),dx =tfrac12l[,x-!x^2+tfracx^33r]0^1 =tfrac12cdottfrac13 =tfrac16

Passo 4

No segundo caso ( Omega2), a projeção no plano xy é o quarto de disco
(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x^2+y^2<=1,
e em cada (x,y) a altura vai de z=0 até z=1-x. Geometricamente, é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1, pelos planos coordenados e pelo plano z=1-x.

Passo 5

Calculamos
integral0^1integral0^raiz1-x^2(1-x),dy,dx =integral0^1(1-x)raiz1-x^2,dx
Separamos em
integral0^1raiz1-x^2,dx =pi4, integral0^1xraiz1-x^2,dx =13
Logo
integral0^1(1-x)raiz1-x^2,dx =pi4-13

Resposta

O primeiro sólido é um tetraedro no primeiro octante determinado pelo plano x+y+z=1 e tem volume
16
O segundo sólido fica sob o plano z=1-x acima do quarto de disco x^2+y^2<=1 no plano xy, e seu volume é
pi4-13

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