3.2R Calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x^2+z^2=1 e pelos planos y=0, z=0 e y=x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelo cilindro
x^2+z^2=1,
pelo plano z=0 (que impõe z>=0), pelo plano y=0 e pelo plano y=x. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla e vamos projetar o sólido no plano xz, usando coordenadas polares para simplificar a integral sobre a região circular.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V = integral triplaD dV,
onde D é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
  1. x^2+z^2<=1,
  2. z>=0,
  3. 0<= y<= x.
    Para cada ponto (x,z) na região de projeção Rsubsetx^2+z^2<=1,;x>=0,;z>=0, y varia de 0 até x. Então
V = integral duplaRl(integraly=0^y=x dyr),dAxz =integral duplaR x,dAxz

Passo 3

A região R no plano xz é o quarto de disco de raio 1 (primeiro quadrante em x z). Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, z = rsintheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=tfracpi2. O elemento de área é dAxz=r,dr,dtheta. A integral vira
V = integraltheta=0^pi/2integralr=0^1 l(rcosthetar),(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2integral0^1r^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Separando as integrais, temos
V = l(integral0^pi/2costheta,dthetar) l(integral0^1r^2,drr)
Calculamos cada uma:
integral0^pi/2costheta,dtheta = sintheta|0^pi/2 = 1,
integral0^1r^2,dr = r^33|0^1 = 13
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V = 1 times 13 = 13

Resposta

O volume do sólido é 13.

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