5.2R Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. A partir de uma dado momento, outra solução de salmoura com 1 kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 litros por minuto, enquanto a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine (a) a quantidade Q(t) de sal no tanque no instante t e (b) o instante t em que a mistura no tanque contém exatamente 2 kg de sal.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em que um tanque de volume constante 350 L contém inicialmente 1 kg de sal. Entra solução com concentração 1 kg/L à vazão 10 L/min e sai mistura homogênea à mesma vazão. O conteúdo é modelar por uma equação diferencial linear de primeira ordem e determinar (a) a função Q(t) da quantidade de sal no tempo t e (b) o instante em que Q(t)=2 kg.

Passo 2

Vamos montar a equação diferencial. A taxa de variação de sal é
dQdt = (taxa de entrada) - (taxa de saída) í
A entrada é 10 L/min times 1 kg/L = 10 kg/min. A saída leva concentração Q350 kg/L a 10 L/min, ou seja 10cdotQ350=10350Q. Logo
dQdt = 10 - 10350,Q

Passo 3

Escrevemos a ODE na forma
dQdt + 135,Q = 10,
que é linear. O fator integrante é
mu(t) = e^integral 135dt = e^t/35
Multiplicando a equação original por mu(t) e integrando, obtemos a solução geral
Q(t) = C e^-t/35 + Qinfty,
onde Qinfty é o estado estacionário, dado por Qinfty=35cdot10=350 kg.

Passo 4

Aplicando a condição inicial Q(0)=1, achamos
1 = C + 350 Longrightarrow C = -349
Portanto
Q(t) = 350 - 349,e^-t/35

Passo 5

Para achar o instante em que Q(t)=2, resolvemos
2 = 350 - 349,e^-t/35 Longrightarrow e^-t/35 = 348349 Longrightarrow t = -35ln!l(tfrac348349r)
Numericamente,
t approx -35 times (-0.00287) approx 0,10 min

Resposta

(a) Q(t) = 350 - 349,e^-t/35
(b) t = -35ln!l(tfrac348349r)approx0,10 min

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