5.2R Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 1 kg de sal. A partir de uma dado momento, outra solução de salmoura com 1 kg de sal por litro começa a entrar no tanque à razão de 10 litros por minuto, enquanto a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine (a) a quantidade
de sal no tanque no instante
e (b) o instante
em que a mistura no tanque contém exatamente 2 kg de sal.
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em que um tanque de volume constante
L contém inicialmente
kg de sal. Entra solução com concentração
kg/L à vazão
L/min e sai mistura homogênea à mesma vazão. O conteúdo é modelar por uma equação diferencial linear de primeira ordem e determinar (a) a função
da quantidade de sal no tempo
e (b) o instante em que
kg.
Passo 2
Vamos montar a equação diferencial. A taxa de variação de sal é
A entrada é
L/min
kg/L
kg/min. A saída leva concentração
kg/L a
L/min, ou seja
. Logo
Passo 3
Escrevemos a ODE na forma
que é linear. O fator integrante é
Multiplicando a equação original por
e integrando, obtemos a solução geral
onde
é o estado estacionário, dado por
kg.
Passo 4
Aplicando a condição inicial
, achamos
Portanto
Passo 5
Para achar o instante em que
, resolvemos
Numericamente,
Resposta
(a)
(b)
(b)