Determine, se existirem:
lim x a |x-a|+x^2-2 a x+a^2a-x

Passo 1

Resumindo o enunciado: devemos calcular
limxto a|x-a| + x^2 - 2ax + a^2a - x
O conteúdo aqui é simplificação algébrica, valor absoluto e análise de limites laterais.

Passo 2

Note que
x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2
Então o numerador fica
|x - a| + (x - a)^2

Passo 3

O denominador a - x pode ser escrito como -(x - a). Assim a expressão original é
|x - a| + (x - a)^2a - x = -,|x - a| + (x - a)^2x - a
Para facilitar, defina h = x - a. Então h to 0 quando x to a, e a expressão vira
-,|h| + h^2h

Passo 4

Vamos aos limites laterais:
Para h>0 (i.e.\ xto a^+) temos |h|=h, logo
-,|h| + h^2h = -,h + h^2h = -(1 + h) ;longrightarrow;-1 (hto0^+)
Para h<0 (i.e.\ xto a^-) temos |h|=-h, logo
-,|h| + h^2h = -,-h + h^2h = 1 - h ;longrightarrow;1 (hto0^-)

Passo 5

Como
limxto a^+|x-a|+x^2-2ax+a^2a-x=-1
e
limxto a^-|x-a|+x^2-2ax+a^2a-x=1,
os limites laterais são diferentes, logo o limite bilateral não existe.

Resposta

limxto a^+|x-a|+x^2-2ax+a^2a-x=-1 limxto a^-|x-a|+x^2-2ax+a^2a-x=1 limxto a|x-a|+x^2-2ax+a^2a-x não existe.

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