Determine, se existirem:
lim x infty pi x^2 raizx-raizxx^2-3 x raizx^3

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftypi x^2raizx-raizxx^2-3xraizx^3
Isso é um limite no infinito de uma expressão algébrica com radicais. Vamos converter os radicais em potências, identificar o termo de maior grau e usar fatoração para simplificar.

Passo 2

Converter os radicais em potências de x:
raizx=x^tfrac12, raizx^3=x^tfrac32
Substituindo no numerador e no denominador,
pi x^2raizx-raizxx^2-3xraizx^3 = pi x^2+tfrac12-x^tfrac12x^2-3xcdot x^tfrac32 = pi x^tfrac52-x^tfrac12x^2-3x^tfrac52

Passo 3

Identificamos os termos de maior potência em x. No numerador o maior expoente é tfrac52 (em pi x^5/2) e no denominador também é tfrac52 (em -3x^5/2). Esses termos vão dominar o comportamento quando xtoinfty.

Passo 4

Fatorar x^5/2 em numerador e denominador:
pi x^5/2-x^1/2x^2-3x^5/2 = x^5/2l(pi - x^tfrac12- tfrac52r)x^5/2l(x^2-tfrac52-3r) = x^5/2l(pi - x^-2r)x^5/2l(x^-tfrac12-3r)

Passo 5

Cancelar x^5/2 e avaliar o limite:
limxtoinfty pi - x^-2x^-tfrac12-3 = pi - 00 - 3 = -pi3

Resposta

-pi3

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