Se
é uma função invertível, definimos sua inversa como sendo a função
tal que
, isto é,
. Supondo
diferenciável e
, aplique a Regra da Cadeia (ou derivação implícita) para mostrar que
.
(b) Calcule a derivada da função
, usando a fórmula do item anterior.
(b) Calcule a derivada da função
Passo 1
O enunciado pede, no item (a), que a partir de
e supondo
diferenciável com
, apliquemos a regra da cadeia para obter a fórmula de
. No item (b) queremos usar essa fórmula para achar a derivada de
.
Passo 2
Começamos diferenciando em
a identidade
Pela regra da cadeia, isso dá
Passo 3
Isolando
, obtemos
Como
, podemos reescrever como
Passo 4
Agora, para
, encontramos sua inversa. Chamando
, invertemos:
logo
Passo 5
Calculamos a derivada de
:
Passo 6
Pela fórmula do item (a),
Resposta
(a)
(b) .
(b)