Se f é uma função invertível, definimos sua inversa como sendo a função f^-1 tal que (f^-1 circ f)(x)=x, isto é, f(x)=y Leftrightarrow f^-1(y)=x. Supondo f diferenciável e f^prime(x) neq 0, aplique a Regra da Cadeia (ou derivação implícita) para mostrar que [f^-1(y)]^prime=1f^prime(x).
(b) Calcule a derivada da função f(x)=raiz[3]x-1, usando a fórmula do item anterior.

Passo 1

O enunciado pede, no item (a), que a partir de (f^-1circ f)(x)=x e supondo f diferenciável com f'(x)neq0, apliquemos a regra da cadeia para obter a fórmula de l(f^-1(y)r)'. No item (b) queremos usar essa fórmula para achar a derivada de f(x)=raiz[3]x-1.

Passo 2

Começamos diferenciando em x a identidade
(f^-1circ f)(x)=x
Pela regra da cadeia, isso dá
(f^-1)'l(f(x)r),cdot,f'(x)=1

Passo 3

Isolando (f^-1)'l(f(x)r), obtemos
(f^-1)'l(f(x)r) =1f'(x)
Como y=f(x), podemos reescrever como
l(f^-1(y)r)' =1f'(x)

Passo 4

Agora, para f(x)=raiz[3]x-1=(x-1)^1/3, encontramos sua inversa. Chamando y=(x-1)^1/3, invertemos:
x-1=y^3 Longrightarrow x=y^3+1
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f^-1(y)=y^3+1

Passo 5

Calculamos a derivada de f^-1:
(f^-1)'(y)=3y^2

Passo 6

Pela fórmula do item (a),
f'(x) =1(f^-1)'l(f(x)r) =13,[,f(x),]^2 =13,( (x-1)^1/3 )^2 =13,(x-1)^2/3

Resposta

(a) (f^-1)'(y)=1f'(x)
(b) f'(x)=13,(x-1)^2/3.

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