& f(x, y)=cc (x y)^2raizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0) & g(x, y)=cl x yraizx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0) & h(x, y)=cl x yx^2+y & se x^2 neq-y, 0 & se x^2=-y & j(x, y)=cc (x^2+y^2) sen(1raizx^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0), 0 & se (x, y)=(0,0)
Relativamente a cada uma delas estude:
(a) se existe derivada em (0,0);
(b) as derivadas direccionais em (0,0);
© a continuidade das derivadas parciais em (0,0);
(d) a continuidade em (0,0).

Passo 1

Temos as funções f, g, h e j definidas e vamos estudar em (0,0): (a) existência da derivada total, (b) derivadas direcionais, © continuidade das derivadas parciais e (d) continuidade da função.

Passo 2

Para f(x,y): calculamos D_u f(0,0)=lim_{t→0} f(ta,tb)/t = 0 para todo vetor u, logo todas as derivadas direcionais existem e valem 0, o que implica ∂f/∂x(0,0)=∂f/∂y(0,0)=0.
Como f(x,y)=O(r^3), temos f(h)−0−0·h = o(‖h‖) e, portanto, f é diferenciável em (0,0) com derivada linear nula.
Para (x,y)≠(0,0), as expressões de f_x e f_y são da ordem O(r^2) e tendem a 0 quando (x,y)→(0,0), logo as derivadas parciais são contínuas em (0,0).
Como f(x,y)→0 quando (x,y)→(0,0), a função f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para g(x,y): D_u g(0,0)=lim g(ta,tb)/t = (ab/√(a²+b²))·lim(sign(t)/t), que diverge se ab≠0. Só existem derivadas direcionais finitas ao longo dos eixos, com ∂g/∂x(0,0)=∂g/∂y(0,0)=0.
A não linearidade das derivadas direcionais implica que g não é diferenciável em (0,0).
Computa-se g_x(x,y)=y³/(x²+y²)^{3/2} e g_y(x,y)=x³/(x²+y²)^{3/2}, que não tendem a 0 quando (x,y)→(0,0), logo as derivadas parciais são descontínuas.
Contudo, |g(x,y)| ≤ r e r→0, então g é contínua em (0,0).

Passo 4

Para h(x,y): D_u h(0,0)=lim h(ta,tb)/t = a se b≠0 e =0 se b=0. Assim ∂h/∂x(0,0)=∂h/∂y(0,0)=0, mas as derivadas direcionais não definem um mapa linear.
Logo, h não é diferenciável em (0,0).
Calcula-se h_x(x,y) e h_y(x,y) e observa-se que não tendem a 0 ao aproximar-se de (0,0) (por exemplo, ao longo de y=mx^2), logo as derivadas parciais são descontínuas.
Tomando y = -x2+2x3, obtemos h(x,y)→ -1/2 ≠0, mostrando que h não é contínua em (0,0).

Passo 5

Para j(x,y): D_u j(0,0)=lim j(ta,tb)/t =0 para todo vetor u, logo ∂j/∂x(0,0)=∂j/∂y(0,0)=0 e todas as derivadas direcionais existem.
Como |j(x,y)| = r^2|sin(1/r)| = o®, j é diferenciável em (0,0) com derivada linear nula.
As expressões j_x(x,y)=2x
sin(1/r) - (x/r)
cos(1/r) e j_y(x,y)=2y
sin(1/r) - (y/r)
cos(1/r) oscilam sem limite quando (x,y)→(0,0), portanto as derivadas parciais são descontínuas.
Finalmente, |j(x,y)| ≤ r^2 →0, garantindo que j é contínua em (0,0).

Resposta

f: diferenciável em (0,0) com Df=0; todas as derivadas direcionais iguais a 0; derivadas parciais contínuas; f contínua. g: não diferenciável em (0,0); deriva¬das direcionais finitas apenas nos eixos (divergem para ab≠0); derivadas parciais descontínuas; g contínua. h: não diferenciável em (0,0); D_u h(0,0)=u_x para b≠0 e 0 para b=0; derivadas parciais descontínuas; h descontínua. j: diferenciável em (0,0) com Dj=0; todas as derivadas direcionais iguais a 0; derivadas parciais descontínuas; j contínua.

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