Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim t -1 F(t)=(t^5+2 t^2+3) i+t t^2-42 t+2 j+ln (t^2+1) k

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial vec F(t)=(t^5+2t^2+3),vec i+t^3-42t+2,vec j+ln(t^2+1),vec k quando tto-1. O conteúdo que vamos usar é que o limite de uma função vetorial é o vetor dos limites de cada componente, sempre que eles existam.

Passo 2

Primeiro componente ( vec i): é um polinômio f1(t)=t^5+2t^2+3. Podemos aplicar substituição direta:
f1(-1)=(-1)^5+2(-1)^2+3=-1+2+3=4

Passo 3

Segunda componente ( vec j): temos f2(t)=t^3-42t+2. Note que o denominador se anula em t=-1, então pode haver divergência. Reescrevendo:
f2(t)=t^3-42(t+1)

Passo 4

Ao substituir tto-1, o numerador vai a -1-4=-5 e o denominador tende a zero. Para tto-1^+, 2(t+1)>0 e f2(t)to-infty; para tto-1^-, 2(t+1)<0 e f2(t)to+infty. Logo, não há limite finito nem único.

Passo 5

Terceira componente ( vec k): f3(t)=ln(t^2+1) é contínua, então
limtto-1f3(t)=ln((-1)^2+1)=ln2

Passo 6

Como a segunda componente diverge e não tem limite único, o limite vetorial limtto-1vec F(t) não existe.

Resposta

O limite não existe, pois a componente vec j diverge (vai a -infty por tto-1^+ e a +infty por tto-1^-). As outras componentes são 4 e ln2.

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