Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (-1,2) 2 x^3 y+x^3 y^2-x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, quando elas se aproximam de x . A expressão que a gente quer analisar é:
y
O conteúdo que estamos lidando aqui é de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar saber que funções polinomiais são contínuas em todos os pontos, o que facilita a nossa vida na hora de calcular o limite.

Passo 2

Como as funções polinomiais são contínuas, o limite quando $ (x, y) $ se aproxima de (x, y) é simplesmente o valor da função nesse ponto. Então, a gente pode substituir $ x = -1 $ e $ y = 2 $ diretamente na expressão:
(-1, 2)

Passo 3

Vamos fazer a substituição passo a passo:
  1. Calcular $ x^{3} $ quando $ x = -1 $:
x^3
  1. Calcular $ y^{2} $ quando $ y = 2 $:
x = -1
  1. Agora, substituir na expressão:
(-1)^3 = -1

Passo 4

Vamos resolver cada termo:
  1. $ 2 \times (-1) \times 2 = -4 $
  2. $ (-1) \times 4 = -4 $
  3. $ -(-1) \times 2 = 2 $
Agora, somando tudo:
2 times (-1) times 2 = -4

Resposta

Portanto, o limite é $ -6 $.

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