5.2S Um tanque contém 380 litros de salmoura obtida dissolvendo-se 27 kg de sal na água. Água salgada com 0,10 kg de sal por litro, entra no tanque à razão de 7,5 litros por minuto, e a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine a quantidade Q de sal no tanque após 30 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura em um tanque de volume constante 380 L, começando com 27 kg de sal dissolvidos. Entra água salgada na concentração de 0,10 kg/L à vazão de 7,5 L/min e sai a mesma vazão. Queremos achar a quantidade de sal Q(t) em kg no tanque após t=30 min. Este é um problema de equação diferencial linear de 1º ordem.

Passo 2

Definimos Q(t) como a massa de sal (em kg) no tanque no instante t (em minutos). Como a vazão de entrada e saída são iguais, o volume no tanque permanece 380 L. A concentração dentro do tanque é tfracQ(t)380 kg/L.

Passo 3

A razão de variação de sal é
dQdt =underbrace(vazão in)7,5cdotunderbrace(conc in)0,10 -underbrace(vazão out)7,5cdotunderbracel(tfracQ(t)380r)conc no tanque ãã
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dQdt =0,75-7,5380,Q(t) =0,75-15760,Q(t)

Passo 4

Temos a EDO linear
dQdt+15760,Q=0,75
O estado estacionário (solução particular constante) satisfaz
15760,Qinfty=0,75 Longrightarrow Qinfty=0,75cdot76015=38 kg
A solução geral é
Q(t)=Qinfty+l(Q(0)-Qinftyr)e^-15760t =38+l(27-38r)e^-15760t =38-11,e^-15760t

Passo 5

Aplicando t=30 min, calculamos o expoente:
-15760cdot30=-450760approx-0,5921,
então
Q(30)=38-11,e^-0,5921 approx38-11cdot0,5533 approx38-6,0863 approx31,9137 kg

Resposta

A quantidade de sal no tanque após 30 minutos é aproximadamente 31,9 kg.

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