5.2S Um tanque contém 380 litros de salmoura obtida dissolvendo-se 27 kg de sal na água. Água salgada com de sal por litro, entra no tanque à razão de 7,5 litros por minuto, e a mistura bem-homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Determine a quantidade de sal no tanque após 30 minutos.
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura em um tanque de volume constante L, começando com kg de sal dissolvidos. Entra água salgada na concentração de kg/L à vazão de L/min e sai a mesma vazão. Queremos achar a quantidade de sal em kg no tanque após min. Este é um problema de equação diferencial linear de 1º ordem.
Passo 2
Definimos como a massa de sal (em kg) no tanque no instante (em minutos). Como a vazão de entrada e saída são iguais, o volume no tanque permanece L. A concentração dentro do tanque é kg/L.
Passo 3
A razão de variação de sal é
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dQdt =0,75-7,5380,Q(t) =0,75-15760,Q(t)
Passo 4
Temos a EDO linear
dQdt+15760,Q=0,75
O estado estacionário (solução particular constante) satisfaz
15760,Qinfty=0,75 Longrightarrow Qinfty=0,75cdot76015=38 kg