1. A reta tangente à curva y=e^-arctg x, no ponto em que x=a, intercepta o eixo- x. Se a abscissa desse ponto de intersecção com o eixo- x é b, mostre que b=a^2+a+1.

Passo 1

O enunciado dá a curva y = e^-arctgx e pede a reta tangente a essa curva no ponto em que x=a. Essa reta intercepta o eixo x em um ponto de abscissa b. Nosso objetivo é calcular a derivada de y, montar a equação da reta tangente e, impondo y=0, encontrar b em função de a.

Passo 2

Definimos f(x)=e^-arctgx. Então
f(a)=e^-arctga,
e, usando a regra da cadeia e l(arctgxr)'=tfrac11+x^2,
f'(x)=e^-arctgx,l(-tfrac11+x^2r) =-e^-arctgx1+x^2,
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f'(a)=-e^-arctga1+a^2

Passo 3

A equação da reta tangente em x=a é
y - f(a) = f'(a),(x - a)

Passo 4

Para achar o intercepto com o eixo x, impomos y=0 e chamamos a abscissa de b:
0 - f(a) = f'(a),(b - a) Longrightarrow b - a = -f(a)f'(a)
Substituindo f(a) e f'(a),
b - a = -e^-arctga-tfrace^-arctga1+a^2 =1+a^2

Passo 5

Portanto
b = a + (1+a^2) = a^2 + a + 1

Resposta

b = a^2 + a + 1.

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