Use a definição de derivada para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=raizx no ponto (4,2).
(1,5)
Por definição de derivada:
f^prime(4)=lim x 4 raizx-raiz4x-4 & =lim x 4 (raizx-2)(raizx+2)(x-4)(raizx+2) & =lim x 4 (raizx)^2-4(x-4)(raizx+2) & =lim x 4 x-4(x-4)(raizx+2) ; x>0, x neq 4 & =lim x 4 1raizx+2 & =1raiz4+2 & =14
Sendo f^prime(4) o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (4,2), então a equação da reta é da forma: y-2=f^prime(4)(x-4)=14(x-4)=x4-1 ou 4 y-x-4=0

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=raizx no ponto (4,2). Vamos usar a definição de derivada como limite do quociente de diferenças para obter o coeficiente angular da reta e, em seguida, aplicar a forma ponto-declive.

Passo 2

A derivada em x=4 é
f'(4)=limxto4raizx-raiz4x-4
Racionalizando o numerador, multiplicamos e dividimos por raizx+2:
f'(4) =limxto4(raizx-2)(raizx+2)(x-4)(raizx+2) =limxto4x-4(x-4)(raizx+2) =limxto41raizx+2 =1raiz4+2 =14

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é m=f'(4)=tfrac14 e ela passa por (4,2). Usando a forma ponto-declive,
y - 2 = 14,(x - 4)

Passo 4

Isolando y:
y - 2 = x4 - 1 Longrightarrow y = x4 + 1
Em forma geral, basta multiplicar por 4:
4y - x - 4 = 0

Resposta

y = x4 + 1

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