3.2U Calcule o volume do sólido interior ao cubo 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1,0 <= z <= 1 e exterior ao parabolóide x^2+y^2=z.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cubo
0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1
e “do lado de fora” do paraboloide x^2+y^2=z.
Isso significa que, para cada ponto (x,y) no quadrado [0,1]times[0,1], o z varia de baixo pelo paraboloide até o teto z=1.
O conteúdo a usar é integral tripla e, para simplificar a projeção, usaremos coordenadas polares no plano xy.

Passo 2

Para cada (x,y) em [0,1]^2, o sólido “fora” do paraboloide satisfaz
z>= x^2+y^2
mas como z<=1 pelo cubo, temos um intervalo
x^2+y^2<= z <= 1
Se x^2+y^2>1, não há ponto no sólido. Logo, o projeto no plano xy é
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;0<= y<=1,;x^2+y^2<=1
O volume fica então
V=integral duplaDl(underbrace1zmax-underbrace(x^2+y^2)zminr),dA

Passo 3

O domínio D é o quarto de disco de raio 1, pois x,y>=0 e x^2+y^2<=1.
Em coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, rin[0,1],;thetainl[0,tfracpi2r]
E dA = r,dr,dtheta. A integranda vira 1 - r^2.

Passo 4

O volume em polares é
V = integraltheta=0^pi/2!integralr=0^1(1 - r^2),r,dr,dtheta = integral0^pi/2!integral0^1(r - r^3),dr,dtheta

Passo 5

Calculemos a integral interna:
integral0^1(r - r^3),dr = l[tfracr^22 - tfracr^44r]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Então
V = integral0^pi/2tfrac14,dtheta = tfrac14cdot tfracpi2 = tfracpi8

Resposta

O volume do sólido é tfracpi8.

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