3.2U Calcule o volume do sólido interior ao cubo e exterior ao parabolóide .
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está dentro do cubo
e “do lado de fora” do paraboloide .
Isso significa que, para cada ponto no quadrado , o varia de baixo pelo paraboloide até o teto .
O conteúdo a usar é integral tripla e, para simplificar a projeção, usaremos coordenadas polares no plano .
Passo 2
Para cada em , o sólido “fora” do paraboloide satisfaz
mas como pelo cubo, temos um intervalo
Se , não há ponto no sólido. Logo, o projeto no plano é
O volume fica então
Passo 3
O domínio D é o quarto de disco de raio 1, pois x,y>=0 e x^2+y^2<=1.
Em coordenadas polares: