3.2V Calucule o volume do sólido limitado pelos planos y=1 e z=0, pelo parabolóide x^2+y^2=z e pelo cilindro y=x^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelos planos y=1 e z=0, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo cilindro parabólico y=x^2.
O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla. A estratégia é projetar a região no plano xy, escrever o integral triplo em ordem dz,dy,dx, integrar em z para reduzir a um duplo e depois integrar em y e x.

Passo 2

Projeta-se a região no plano xy. Como y varia entre o cilindro y=x^2 e o plano y=1, e x^2<=1, temos
-1 <= x <= 1, x^2 <= y <= 1
Em z, o sólido fica entre z=0 e z=x^2+y^2. Assim
V = integralx=-1^1integraly=x^2^1integralz=0^x^2+y^2 dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^x^2+y^2dz = x^2+y^2
Logo o volume vira um duplo
V = integral-1^1integralx^2^1 (x^2+y^2),dy,dx

Passo 4

Agora integramos em y:
integralx^2^1(x^2+y^2),dy = l[x^2y + tfracy^33r]y=x^2^y=1 = x^2 + tfrac13 - x^4 - tfracx^63
Assim
V = integral-1^1l(x^2 + tfrac13 - x^4 - tfracx^63r),dx

Passo 5

Integramos em x, usando simetria:
integral-1^1x^2,dx = tfrac23, integral-1^1tfrac13,dx = tfrac23, integral-1^1x^4,dx = tfrac25, integral-1^1tfracx^63,dx = tfrac221
Logo
V = 23 + 23 - 25 - 221 = 88105

Resposta

O volume do sólido é 88105.

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