5.2U Deixa-se cair de uma altura de 30 m um corpo de 30 kg , com uma velocidade inicial de 3 m / s. Admitindo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade e que a velocidade-limite é de 43 m / s, determine a expressão da velocidade v(t) e da posição y(t) do corpo num instante t.

Passo 1

Resumindo, temos um corpo de massa m=30,kg largado de repouso relativo ao salto inicial, mas com velocidade inicial v(0)=3,m/s (para baixo). A resistência do ar é Frm drag=-k,v e sabemos que a velocidade-limite satisfaz
mgk=43Longrightarrow k=mg43,
A equação de movimento, tomando o eixo y positivo para baixo, é a equação diferencial linear de 1ª ordem
mdvdt=mg-k,v,

Passo 2

Vamos resolver
dvdt+km,v=g
cuja solução geral é
v(t)=mgk+l(v(0)-mgkr)e^-kmt
Substituindo tfracmgk=43 e v(0)=3, além de tfrackm=tfracg43, obtemos
v(t)=43+l(3-43r)e^-g43t =43-40,e^-9,843t(m/s)

Passo 3

A posição y(t), medindo-se do ponto de largada para baixo e com y(0)=0, vem de
y(t)=integral0^tv(s),ds = mgk,t+mkl(v(0)-mgkr)l(1-e^-kmtr)
Substituindo tfracmgk=43, tfracmk=tfrac43g e v(0)-tfracmgk=-40, resulta
y(t)=43,t+439,8l(-40r) l(1-e^-9,843tr) =43,t-17209,8l(1-e^-9,843tr)(m)
Se quisermos a altura acima do solo e o corpo parte de 30,m, basta usar
yrm solo(t)=30-y(t)

Resposta

boxedv(t)=43-40,e^-tfrac9,843t(m/s),
boxedy(t)=43,t-17209,8l(1-e^-tfrac9,843tr)(m, abaixo do ponto de largada)

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