Determine:
integral 4 x^2+1x(2 x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 4x^2+1x,(2x-1)^2,dx
Trata-se de uma função racional própria, então vamos usar decomposição em frações parciais e em seguida integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Fazemos a decomposição
Multiplicando por
Expandindo e agrupando em potências de :
Igualando a dá o sistema
Da terceira equação vem resulta . E em fica .

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 4x^2+1x,(2x-1)^2,dx = integral 1x,dx + 4integral 1(2x-1)^2,dx
A primeira parte é lnlvert xrvert. Na segunda usamos u=2x-1, du=2,dx, logo
integral 1(2x-1)^2,dx =12integral u^-2,du =-12u =-12(2x-1)
Multiplicando por 4 obtemos -tfrac22x-1.

Resposta

integral 4x^2+1x,(2x-1)^2,dx = lnlvert xrvert ;-;22x-1 + C

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