Existe algum número c in(1,2) tal que a reta tangente a y=ln x em c seja paralela à reta secante que passa pelos pontos (1,0) e (e, 1) ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar cin(1,2) tal que a reta tangente a y=ln x em x=c seja paralela à reta secante que liga os pontos (1,0) e (e,1). O conteúdo envolve o Teorema do Valor Médio e derivadas; precisaremos da inclinação da secante e da fórmula de f'(x) para f(x)=ln x.

Passo 2

Calculamos a inclinação da reta secante entre (1,0) e (e,1). Como f(x)=ln x, temos
msec = f(e)-f(1)e-1 = 1-0e-1 = 1e-1

Passo 3

A derivada de ln x é
f'(x) = 1x
Logo, a inclinação da tangente em x=c é mtan=f'(c)=1/c. Para serem paralelas, basta igualar
1c = 1e-1
o que implica
c = e - 1
Como eapprox2,718, segue-se que 1<e-1<2, ou seja, cin(1,2).

Resposta

Sim. c=e-1.

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