Prove as fórmulas abaixo referentes a funções u, v: R^d longrightarrow R e ao campo F: R^d longrightarrow R^d
De<a(u v)=v De<a u+2 nabla u cdot nabla v+u De<a v.

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra do produto para o laplaciano de duas funções u,v:R^dtoR, ou seja, mostrar que
De<a(u v)=v,De<a u+2,nabla ucdotnabla v+u,De<a v
Para isso vamos usar a definição do laplaciano em coordenas cartesianas
De<a f=sumi=1^dpartial^2 fpartial xi^2,
e a regra do produto para derivadas parciais de ordem um e dois.

Passo 2

Começamos escrevendo o laplaciano de u v como soma de segundas derivadas parciais:
De<a(u v) =sumi=1^dpartial^2partial xi^2(u v)
Agora aplicamos a regra do produto para derivadas de ordem um:
partialpartial xi(u v) =u,partial vpartial xi+v,partial upartial xi
Em seguida derivamos de novo em xi, usando produto em cada termo:
partial^2partial xi^2(u v) =partialpartial xil(u,partiali vr) +partialpartial xil(v,partiali ur)
Para cada um desses aplicamos de novo a regra do produto:
partialpartial xi(u,partiali v) =u,partiali^2 v+(partiali u)(partiali v), partialpartial xi(v,partiali u) =v,partiali^2 u+(partiali v)(partiali u)
Somando esses dois resultados:
partial^2partial xi^2(u v) =u,partiali^2 v+v,partiali^2 u +2,(partiali u)(partiali v)

Passo 3

Voltando ao laplaciano, somamos sobre i:
De<a(u v) =sumi=1^dl(u,partiali^2 v+v,partiali^2 u+2,partiali u,partiali vr) =vsumi=1^dpartiali^2 u +usumi=1^dpartiali^2 v +2sumi=1^dpartiali u,partiali v
Reconhecemos os termos:
sumi=1^dpartiali^2 u=De<a u, sumi=1^dpartiali^2 v=De<a v, sumi=1^dpartiali u,partiali v=nabla ucdotnabla v
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De<a(u v) =v,De<a u+u,De<a v+2,nabla ucdotnabla v

Resposta

boxedDe<a(u v)=v,De<a u+2,nabla ucdotnabla v+u,De<a v

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