Prove as fórmulas abaixo referentes a funções
e ao campo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a regra do produto para o laplaciano de duas funções
, ou seja, mostrar que
Para isso vamos usar a definição do laplaciano em coordenas cartesianas
e a regra do produto para derivadas parciais de ordem um e dois.
Passo 2
Começamos escrevendo o laplaciano de
como soma de segundas derivadas parciais:
Agora aplicamos a regra do produto para derivadas de ordem um:
Em seguida derivamos de novo em
, usando produto em cada termo:
Para cada um desses aplicamos de novo a regra do produto:
Somando esses dois resultados:
Passo 3
Voltando ao laplaciano, somamos sobre
:
Reconhecemos os termos:
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