Dado o potencial
, (a) Determine a densidade de fluxo elétrico em ( 2 ,
); (b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de
do ponto (
,
) até o ponto (
).
Passo 1
O enunciado dá o potencial escalar
e pede duas coisas:
- (a) determinar a densidade de fluxo elétrico em
; - (b) calcular o trabalho realizado ao mover uma carga de
do ponto até .
Informações relevantes dadas no enunciado:
pontos:
e carga:
Observação que vou usar a constante do vácuo para relacionar campo elétrico e densidade de fluxo:
Passo 2
Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):
- O campo elétrico
está relacionado com o potencial escalar pela regra
Isto significa que cada componente do campo é a derivada espacial do potencial (com sinal negativo): o campo aponta na direção de queda mais rápida do potencial.
- Em coordenadas esféricas
(onde é o ângulo polar medido a partir do eixo e o azimutal), o operador gradiente para um escalar é
Aqui
são os vetores unitários locais nas direções radial, polar e azimutal respectivamente.
- A densidade de fluxo elétrico
em um meio linear isotrópico é dada por
No vácuo usamos
, então
. A unidade de
é
.
Vou aplicar essas fórmulas ao potencial dado: primeiro calculo as derivadas parciais, depois
, depois
e finalmente
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Escrevo novamente
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Passo 4
Construir
usando a fórmula em esféricas:
Substituindo as derivadas encontradas:
Simplificando cada termo (observe
surge em todos):
Passo 5
Campo elétrico
:
Então a densidade de fluxo no vácuo é
Passo 6
Avaliar
no ponto
.
Primeiro valores trigonométricos:
E
.
Substituindo em
:
Logo
Numérico:
Arredondando razoavelmente:
Passo 7
Agora parte (b): fórmula do trabalho. Explicação didática:
- O trabalho realizado pela força elétrica ao mover uma carga
de um ponto para um ponto depende só da diferença de potencial:
Isto vem do fato de que a energia potencial elétrica é
, então a variação de energia potencial
; o trabalho feito pelo campo é a mudança negativa da energia potencial, que leva à fórmula acima (ver demonstração mental: trabalho pelo campo = -ΔU = q(V_1-V_2)).
Vou usar essa fórmula com
.
Passo 8
Calcular
no ponto inicial
.
Converter ângulos para razões trigonométricas conhecidas:
Então
Passo 9
Calcular
no ponto final
.
Valores trigonométricos:
e
. Assim
Passo 10
Calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover a carga:
Calcular a diferença:
Logo
Interpretação: o sinal negativo indica que o campo realizou trabalho negativo (isto é, a energia potencial da carga diminuiu no sentido oposto; se quisermos o trabalho que um agente externo deve realizar lentamente e contra o campo, seria o negativo disso:
).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)