Dado o potencial V=\left(10 / r^{2}\right) \operatorname{sen}(\theta) \cos (\varphi), (a) Determine a densidade de fluxo elétrico em ( 2 , \pi / 2,0 ); (b) Calcule o trabalho realizado ao se movimentar uma carga de 10 \mu \mathrm{C} do ponto ( 1,30^{\circ}, 120^{\circ} ) até o ponto ( 4,90^{\circ}, 60^{\circ} ).

Passo 1

O enunciado dá o potencial escalar
V=\frac{10}{r^{2}}\sin(\theta)\cos(\varphi)
e pede duas coisas:
  • (a) determinar a densidade de fluxo elétrico em (r,\theta,\varphi)=(2,\pi/2,0);
  • (b) calcular o trabalho realizado ao mover uma carga de 10\\ \mu\mathrm{C} do ponto (1,30^\circ,120^\circ) até (4,90^\circ,60^\circ).
Informações relevantes dadas no enunciado:
V(r,\theta,\varphi)=\frac{10}{r^{2}}\sin\theta\cos\varphi,
pontos:
\text{ponto (a): }(r,\theta,\varphi)=(2,\pi/2,0),
\text{ponto inicial (b): }(r_1,\theta_1,\phi_1)=(1,30^\circ,120^\circ),
\text{ponto final (b): }(r_2,\theta_2,\phi_2)=(4,90^\circ,60^\circ),
e carga:
q=10\\ \mu\mathrm{C}=10\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=1\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.
Observação que vou usar a constante do vácuo para relacionar campo elétrico e densidade de fluxo:
\varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que precisamos (explicação didática):
  • O campo elétrico \mathbf{E} está relacionado com o potencial escalar V pela regra
\mathbf{E}=-\nabla V.
Isto significa que cada componente do campo é a derivada espacial do potencial (com sinal negativo): o campo aponta na direção de queda mais rápida do potencial.
  • Em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) (onde \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo z e \varphi o azimutal), o operador gradiente para um escalar V(r,\theta,\varphi) é
\nabla V=\hat r\,\frac{\partial V}{\partial r}+\hat\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}+\hat\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
Aqui \hat r,\hat\theta,\hat\varphi são os vetores unitários locais nas direções radial, polar e azimutal respectivamente.
  • A densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} em um meio linear isotrópico é dada por
\mathbf{D}=\varepsilon\,\mathbf{E}.
No vácuo usamos \varepsilon=\varepsilon_0, então \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}. A unidade de \mathbf{D} é \mathrm{C/m^2}.
Vou aplicar essas fórmulas ao potencial dado: primeiro calculo as derivadas parciais, depois \nabla V, depois \mathbf{E} e finalmente \mathbf{D}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V. Escrevo novamente
V=\frac{10}{r^{2}}\sin\theta\cos\varphi.
Derivada em relação a r:
\frac{\partial V}{\partial r}=\frac{\partial}{\partial r}\!\left(10 r^{-2}\sin\theta\cos\varphi\right) =10\sin\theta\cos\varphi\cdot\frac{d}{dr}(r^{-2}) =10\sin\theta\cos\varphi\cdot(-2)r^{-3} =-20\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}.
Derivada em relação a \theta:
\frac{\partial V}{\partial\theta}=\frac{10}{r^{2}}\frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\varphi) =\frac{10}{r^{2}}\cos\theta\cos\varphi =10\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{2}}.
Derivada em relação a \varphi:
\frac{\partial V}{\partial\varphi}=\frac{10}{r^{2}}\sin\theta\frac{d}{d\varphi}(\cos\varphi) =\frac{10}{r^{2}}\sin\theta(-\sin\varphi) =-10\frac{\sin\theta\sin\varphi}{r^{2}}.

Passo 4

Construir \nabla V usando a fórmula em esféricas:
\nabla V=\hat r\,\frac{\partial V}{\partial r}+\hat\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\theta}+\hat\varphi\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
Substituindo as derivadas encontradas:
\nabla V =\hat r\left(-20\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\theta\left(\frac{1}{r}\cdot 10\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{2}}\right) +\hat\varphi\left(\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\left(-10\frac{\sin\theta\sin\varphi}{r^{2}}\right)\right).
Simplificando cada termo (observe r^{3} surge em todos):
\nabla V =\hat r\left(-20\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\theta\left(10\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\varphi\left(-10\frac{\sin\varphi}{r^{3}}\right).

Passo 5

Campo elétrico \mathbf{E}=-\nabla V:
\mathbf{E} =\hat r\left(20\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\theta\left(-10\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\varphi\left(10\frac{\sin\varphi}{r^{3}}\right).
Então a densidade de fluxo no vácuo é
\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E} =\varepsilon_0\left[ \hat r\left(20\frac{\sin\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\theta\left(-10\frac{\cos\theta\cos\varphi}{r^{3}}\right) +\hat\varphi\left(10\frac{\sin\varphi}{r^{3}}\right) \right].

Passo 6

Avaliar \mathbf{D} no ponto (r,\theta,\varphi)=(2,\pi/2,0).
Primeiro valores trigonométricos:
\sin\theta=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \cos\theta=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
\cos\varphi=\cos(0)=1,\qquad \sin\varphi=\sin(0)=0.
E r^{3}=2^{3}=8.
Substituindo em \mathbf{E}:
\mathbf{E}=\hat r\left(20\frac{1\cdot1}{8}\right)+\hat\theta\left(-10\frac{0\cdot1}{8}\right)+\hat\varphi\left(10\frac{0}{8}\right) =\hat r\left(\frac{20}{8}\right)+\mathbf{0} =\hat r\left(\frac{5}{2}\right).
Logo
\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}=\varepsilon_0\frac{5}{2}\,\hat r.
Numérico:
\mathbf{D}=\left(8{,}854\times10^{-12}\right)\cdot\frac{5}{2}\,\hat r =2{,}2135\times10^{-11}\\ \hat r\quad(\mathrm{C/m^{2}}).
Arredondando razoavelmente:
\mathbf{D}\approx2{,}21\times10^{-11}\,\hat r\\ \mathrm{C/m^{2}}.

Passo 7

Agora parte (b): fórmula do trabalho. Explicação didática:
  • O trabalho realizado pela força elétrica ao mover uma carga q de um ponto 1 para um ponto 2 depende só da diferença de potencial:
W_{\text{campo}}=q\left[V(1)-V(2)\right].
Isto vem do fato de que a energia potencial elétrica é U=qV, então a variação de energia potencial \Delta U=q(V_2-V_1); o trabalho feito pelo campo é a mudança negativa da energia potencial, que leva à fórmula acima (ver demonstração mental: trabalho pelo campo = -ΔU = q(V_1-V_2)).
Vou usar essa fórmula com q=1\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Calcular V no ponto inicial (r_1,\theta_1,\phi_1)=(1,30^\circ,120^\circ).
Converter ângulos para razões trigonométricas conhecidas:
\sin(30^\circ)=\tfrac{1}{2},\qquad \cos(120^\circ)=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2}.
Então
V_1=V(r_1,\theta_1,\phi_1)=\frac{10}{1^{2}}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =10\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{10}{4}=-2{,}5\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Calcular V no ponto final (r_2,\theta_2,\phi_2)=(4,90^\circ,60^\circ).
Valores trigonométricos:
\sin(90^\circ)=1,\qquad \cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2},
e r_2^{2}=4^{2}=16. Assim
V_2=\frac{10}{16}\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16}=0{,}3125\\ \mathrm{V}.

Passo 10

Calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover a carga:
W_{\text{campo}}=q\left[V_1-V_2\right] =(1\times10^{-5})\left(-2{,}5-0{,}3125\right)\\ \mathrm{J}.
Calcular a diferença:
V_1-V_2=-2{,}5-0{,}3125=-2{,}8125\\ \mathrm{V}.
Logo
W_{\text{campo}}=(1\times10^{-5})\cdot(-2{,}8125)=-2{,}8125\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o campo realizou trabalho negativo (isto é, a energia potencial da carga diminuiu no sentido oposto; se quisermos o trabalho que um agente externo deve realizar lentamente e contra o campo, seria o negativo disso: +2{,}8125\times10^{-5}\\ \mathrm{J}).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon_0\frac{5}{2}\,\hat r \approx 2{,}21\times10^{-11}\,\hat r\\ \mathrm{C/m^{2}}\n
(b) \displaystyle W_{\text{campo}}=-2{,}8125\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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