2.Um ventilador de teto está ligado e roda com velo- cidade angular constante \vec{\omega}_{0}=\omega_{0} \hat{z} .Assuma que quando é desligado haja atrito no seu mecanismo, de maneira que seja exercido um torque constante f^{\prime}=\underline{-z \hat{z}} em relação ao seu eixo.Se observa que quando o ventilador é desligado,ele dá N voltas até parar.Nessa situação,assinale a alternativa correta com relação ao seu momento de inércia
(a) I=\frac{4 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N
(b) I=\frac{\tau}{\omega_{0}^{2}} N
(c) I=\frac{\tau}{2 \omega_{0}^{2}} N
(d)nāo é possível calcular o momento de inércia ce) I=\frac{2 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informações dadas:
    • A velocidade angular inicial é \vec{\omega}_{0}=\omega_{0}\hat{z} (isto é, módulo \omega_{0} na direção \hat{z}).
    • Ao desligar, há um torque constante escrito no enunciado como \underline{-z \hat{z}}. Vou representar a magnitude desse torque por \tau e escrever o vetor torque como \vec{\tau}=-\tau\hat{z}, com \tau>0. (Usei essa notação para ficar claro o sinal.)
    • Observa‑se que o ventilador dá N voltas até parar.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar o momento de inércia I do ventilador, em função de \tau, \omega_{0} e N, e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Entender a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular.
  • Física usada: a segunda lei da rotação (análoga a F=ma na tradução rotacional) diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
    \vec{\tau}=I\vec{\alpha}.
    Aqui:
    • \vec{\tau} é o vetor torque (no nosso caso \vec{\tau}=-\tau\hat{z}),
    • I é o momento de inércia (o que queremos),
    • \vec{\alpha} é a aceleração angular.
  • Como o torque é constante e oposto a \vec{\omega}_{0}, a aceleração angular é constante e tem sentido contrário à rotação; isto é, \vec{\alpha}=-\alpha\hat{z} com \alpha>0. Em módulo, a relação fica
    \tau = I\alpha.
    (Usei módulos para evitar confusão de sinais: tanto \tau quanto \alpha aqui são números positivos representando magnitudes.)

Passo 3

Relacionar aceleração angular constante com o deslocamento angular usando cinemática rotacional.
  • Para movimento rotacional com aceleração angular constante existe uma equação análoga a v_f^2=v_0^2+2a\Delta x. A versão angular é:
    \omega_f^{2}=\omega_0^{2}+2\alpha\Delta\theta,
    onde:
    • \omega_0 é a velocidade angular inicial (módulo),
    • \omega_f é a velocidade angular final,
    • \alpha é a aceleração angular (assumida aqui com sinal apropriado),
    • \Delta\theta é o deslocamento angular total (em radianos).
  • No nosso caso, a velocidade final quando para é \omega_f=0. A aceleração angular tem sinal negativo se olharmos vetorialmente, mas usamos a relação de magnitudes e consideramos \alpha como a magnitude da desaceleração. Substituindo \omega_f=0 obtemos:
    0=\omega_0^{2}+2(-\alpha)\Delta\theta \quad\text{ou}\quad 0=\omega_0^{2}-2\alpha\Delta\theta.
    Isolando \alpha (magnitude):
    \alpha=\frac{\omega_0^{2}}{2\Delta\theta}.

Passo 4

Expressar \Delta\theta em função de N (número de voltas).
  • Uma volta completa corresponde a 2\pi radianos. Assim, N voltas correspondem a
    \Delta\theta=2\pi N.
  • Substituindo em \alpha:
    \alpha=\frac{\omega_0^{2}}{2(2\pi N)}=\frac{\omega_0^{2}}{4\pi N}.

Passo 5

Usar a relação \tau=I\alpha para obter I.
  • Da relação entre torque e aceleração, em módulo:
    \tau=I\alpha.
    Logo,
    I=\frac{\tau}{\alpha}.
  • Substituindo o valor de \alpha que encontramos:
    I=\frac{\tau}{\dfrac{\omega_0^{2}}{4\pi N}}.

Passo 6

Fazer a álgebra final para obter a expressão simplificada.
  • Invertendo o denominador:
    I=\tau\cdot\frac{4\pi N}{\omega_0^{2}}.
  • Reescrevendo de forma limpa:
    I=\frac{4\pi\tau}{\omega_0^{2}}\,N.

Passo 7

Conferir com as alternativas fornecidas e escolher a correta.
  • A expressão obtida é exatamente a da alternativa (a).

Resposta

(a) I=\frac{4 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N

Exercícios relacionados