2.Um ventilador de teto está ligado e roda com velo- cidade angular constante \vec{\omega}_{0}=\omega_{0} \hat{z} .Assuma que quando é desligado haja atrito no seu mecanismo, de maneira que seja exercido um torque constante f^{\prime}=\underline{-z \hat{z}} em relação ao seu eixo.Se observa que quando o ventilador é desligado,ele dá N voltas até parar.Nessa situação,assinale a alternativa correta com relação ao seu momento de inércia
(a)I=\frac{4 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N
(b)I=\frac{\tau}{\omega_{0}^{2}} N
(c)I=\frac{\tau}{2 \omega_{0}^{2}} N
(d)nāo é possível calcular o momento de inércia ce)I=\frac{2 \pi \tau}{\omega_{0}^{2}} N
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Informações dadas:
A velocidade angular inicial é \vec{\omega}_{0}=\omega_{0}\hat{z} (isto é, módulo \omega_{0} na direção \hat{z}).
Ao desligar, há um torque constante escrito no enunciado como \underline{-z \hat{z}}. Vou representar a magnitude desse torque por \tau e escrever o vetor torque como \vec{\tau}=-\tau\hat{z}, com \tau>0. (Usei essa notação para ficar claro o sinal.)
Observa‑se que o ventilador dá N voltas até parar.
O que o enunciado pede:
Determinar o momento de inércia I do ventilador, em função de \tau, \omega_{0} e N, e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Entender a relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular.
Física usada: a segunda lei da rotação (análoga a F=ma na tradução rotacional) diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
\vec{\tau}=I\vec{\alpha}.
Aqui:
\vec{\tau} é o vetor torque (no nosso caso \vec{\tau}=-\tau\hat{z}),
I é o momento de inércia (o que queremos),
\vec{\alpha} é a aceleração angular.
Como o torque é constante e oposto a \vec{\omega}_{0}, a aceleração angular é constante e tem sentido contrário à rotação; isto é, \vec{\alpha}=-\alpha\hat{z} com \alpha>0. Em módulo, a relação fica
\tau = I\alpha.
(Usei módulos para evitar confusão de sinais: tanto \tau quanto \alpha aqui são números positivos representando magnitudes.)
Passo 3
Relacionar aceleração angular constante com o deslocamento angular usando cinemática rotacional.
Para movimento rotacional com aceleração angular constante existe uma equação análoga a v_f^2=v_0^2+2a\Delta x. A versão angular é:
\omega_f^{2}=\omega_0^{2}+2\alpha\Delta\theta,
onde:
\omega_0 é a velocidade angular inicial (módulo),
\omega_f é a velocidade angular final,
\alpha é a aceleração angular (assumida aqui com sinal apropriado),
\Delta\theta é o deslocamento angular total (em radianos).
No nosso caso, a velocidade final quando para é \omega_f=0. A aceleração angular tem sinal negativo se olharmos vetorialmente, mas usamos a relação de magnitudes e consideramos \alpha como a magnitude da desaceleração. Substituindo \omega_f=0 obtemos: