(2,5) Uma garrafa térmica contém 163 \mathrm{~cm}^{3} de café a 84,0^{\circ} \mathrm{C}. Um cubo de gelo de 11,0 \mathrm{~g} à temperatura de fusão é usado para esfriar o café. De quantos graus o café esfria depois que todo o gelo derrete e o equilibrio térmico é atingido? Trate o café como se fosse água pura e despreze as trocas de energia com o ambiente.

Passo 1

O que o problema pede: determinar de quantos graus o café esfria depois que todo o gelo de 11{,}0\\ \mathrm{g} à temperatura de fusão derrete e o sistema atinge equilíbrio térmico. Em outras palavras, encontrar a variação de temperatura \Delta T do café (diferença entre a temperatura inicial do café e a temperatura final de equilíbrio).
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Volume do café: } &&163\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &\text{Temperatura inicial do café: } &&84{,}0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Massa do gelo: } &&11{,}0\\ \mathrm{g},\\\ &\text{Temperatura do gelo: } &&0^\circ\mathrm{C}\\ (\text{temperatura de fusão}),\\\ &\text{Tratar o café como água pura e desprezar trocas com o ambiente.} \end{aligned}ééãéá

Passo 2

Conceitos importantes e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Calor específico: quantidade de energia necessária para elevar a temperatura de 1\\ \mathrm{g} de uma substância em 1^\circ\mathrm{C}. Para a água usamos
c = 4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^\circ C^{-1}}.
Isto significa que aquecer 1\\ \mathrm{g} de água em 1^\circ\mathrm{C} consome 4{,}18\\ \mathrm{J}.
  • Calor latente de fusão: energia necessária para transformar 1\\ \mathrm{g} de gelo em água à mesma temperatura 0^\circ\mathrm{C} sem mudança de temperatura. Para a água:
L = 334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}.
Isto significa que derreter 1\\ \mathrm{g} de gelo absorve 334\\ \mathrm{J}.
  • Conservação de energia (sem perda para o ambiente): o calor perdido pelo café ao esfriar é igual ao calor ganho pelo gelo (primeiro para derreter e depois para aquecer a água resultante até a temperatura final).
  • Notação: vamos chamar de \,T_f, a temperatura final de equilíbrio. A variação de temperatura do café que queremos é
\Delta T = 84{,}0^\circ\mathrm{C} - T_f.

Passo 3

Converter volume do café em massa (densidade da água ≈ 1{,}00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}), portanto
m_\text{café} = 163\\ \mathrm{cm}^3 \times 1{,}00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}} = 163\\ \mathrm{g}.é
A massa do gelo já foi dada:
m_\text{gelo} = 11{,}0\\ \mathrm{g}.

Passo 4

Escrever o balanço de energia (explicando cada termo):
  • Calor perdido pelo café ao cair de 84{,}0^\circ\mathrm{C} para T_f:
Q_\text{perdido} = m_\text{café}\,c\,(84{,}0 - T_f).é
  • Calor absorvido pelo gelo: primeiro o gelo derrete (absorve m_\text{gelo}L), depois a água resultante de 0^\circ\mathrm{C} aquece até T_f (absorve m_\text{gelo}\,c\,(T_f-0)). Logo
Q_\text{ganho} = m_\text{gelo}\,L + m_\text{gelo}\,c\,(T_f-0).
Conservação de energia (sem perdas ao ambiente):
m_\text{café}\,c\,(84{,}0 - T_f) = m_\text{gelo}\,L + m_\text{gelo}\,c\,T_f.é

Passo 5

Isolar T_f na equação (mostrando cada passo algébrico):
m_\text{café}\,c\,84{,}0 - m_\text{café}\,c\,T_f = m_\text{gelo}\,L + m_\text{gelo}\,c\,T_f.éé
Juntando os termos com T_f no mesmo lado:
m_\text{café}\,c\,84{,}0 - m_\text{gelo}\,L = m_\text{café}\,c\,T_f + m_\text{gelo}\,c\,T_f.éé
Fatorando T_f no lado direito:
m_\text{café}\,c\,84{,}0 - m_\text{gelo}\,L = (m_\text{café} + m_\text{gelo})\,c\,T_f.éé
Finalmente,
T_f = \frac{m_\text{café}\,c\,84{,}0 - m_\text{gelo}\,L}{(m_\text{café} + m_\text{gelo})\,c}.éé

Passo 6

Substituir os números e calcular passo a passo (cada número em TeX):
Valores:
m_\text{café}=163\\ \mathrm{g},\quad m_\text{gelo}=11{,}0\\ \mathrm{g},\quad c=4{,}18\\ \mathrm{J\,g^{-1}\,^\circ C^{-1}},\quad L=334\\ \mathrm{J\,g^{-1}}.é
Calcular m_\text{café}\,c\,84{,}0é:
4{,}18\times 84{,}0 = 351{,}12\\ \mathrm{J\,g^{-1}}.
163\times 351{,}12 = 57\,232{,}56\\ \mathrm{J}.
Calcular m_\text{gelo}\,L:
11{,}0\times 334 = 3\,674\\ \mathrm{J}.
Agora o numerador:
57\,232{,}56 - 3\,674 = 53\,558{,}56\\ \mathrm{J}.
Denominador (m_\text{café}+m_\text{gelo})\,cé:
(163 + 11{,}0)\times 4{,}18 = 174\times 4{,}18 = 727{,}32\\ \mathrm{J\,^\circ C^{-1}}.
Logo
T_f = \frac{53\,558{,}56}{727{,}32}\\ \,^\circ\mathrm{C}\approx 73{,}64^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Calcular a queda de temperatura do café:
\Delta T = 84{,}0^\circ\mathrm{C} - 73{,}64^\circ\mathrm{C} = 10{,}36^\circ\mathrm{C}.
Arredondando dinamicamente pelo número de algarismos significativos dos dados (dados com três algarismos significativos), fica razoável reportar
\Delta T \approx 10{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\displaystyle 10{,}4^\circ\mathrm{C}

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