(1,5) Suponha que você encontre anotações antigas que descrevem que em uma escala linear de temperatura X a água evapore a -63,4^{\circ} X e se congele a -28,5^{\circ} X. Determine a temperatura de 90,0^{\circ} \mathrm{F}, em { }^{\circ} \mathrm{X} e em K?

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre a escala linear de temperatura X:
\text{água se evapora (fervura) a } -63,4^\circ Xá
\text{água se congela a } -28,5^\circ Xá
e pede para determinar a temperatura de 90,0^\circ\mathrm{F} expressa em ^\circ X e em K.
Lista das informações relevantes:
  • Dois pontos de referência que ligam a escala X à escala Celsius: o ponto de congelamento da água (que em Celsius é 0^\circ\mathrm{C}) corresponde a -28,5^\circ X, e o ponto de ebulição da água (que em Celsius é 100^\circ\mathrm{C}) corresponde a -63,4^\circ X.
  • Queremos a temperatura correspondente a 90,0^\circ\mathrm{F} nas escalas X e Kelvin.

Passo 2

Primeiro convertemos 90,0^\circ\mathrm{F} para Celsius usando a relação linear conhecida entre Fahrenheit e Celsius:
C=\frac{5}{9}\,(F-32)
Explicando a fórmula: ela vem dos pontos de referência 32^\circ\mathrm{F}=0^\circ\mathrm{C} e 212^\circ\mathrm{F}=100^\circ\mathrm{C}; a relação é uma transformação afim (linear + deslocamento). Substituindo F=90,0:
C=\frac{5}{9}\,(90,0-32)=\frac{5}{9}\cdot 58=\frac{290}{9}.
Em decimal,
C=\frac{290}{9}=32,222\overline{2}^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Agora determinamos a relação linear entre ^\circ\mathrm{C} e ^\circ X. Como a escala X é linear em relação a Celsius, existe uma relação
X = a\,C + b,
onde a é a inclinação (quanto X muda por grau Celsius) e b é o deslocamento (valor de X quando C=0). Usamos os dois pontos dados para achar a e b.

Passo 4

Usamos os pontos:
\begin{cases} C=0 \longrightarrow X=-28,5,\\[4pt] C=100 \longrightarrow X=-63,4. \end{cases}
Da primeira equação, quando C=0 temos b=-28,5. Para a usamos a diferença (declive):
a=\frac{X(C=100)-X(C=0)}{100-0}=\frac{-63,4-(-28,5)}{100}=\frac{-34,9}{100}=-0,349.
Logo a fórmula é
X=-0,349\,C-28,5.]

Passo 5

Substituímos o valor de C=\dfrac{290}{9} na fórmula de X. Primeiro calculamos o produto de forma exata em frações:
-0,349\,C = -\frac{349}{1000}\cdot\frac{290}{9}=-\frac{101210}{9000}=-\frac{10121}{900}.
Então
X=-\frac{10121}{900}-28,5.
Escrevendo 28,5 como fração com denominador 900: 28,5=\dfrac{25650}{900}. Assim
X=-\frac{10121+25650}{900}=-\frac{35771}{900}.
Em decimal:
X=-\frac{35771}{900}\approx-39,7455\ldots^\circ X.
Arredondando com boa precisão (duas casas decimais):
X\approx-39,75^\circ X.

Passo 6

Agora convertemos C=\dfrac{290}{9} para Kelvin. A relação entre Celsius e Kelvin é
T(\mathrm{K})=T(^\circ\mathrm{C})+273,15,
porque 0\\ \mathrm{K}=-273,15^\circ\mathrm{C}. Então
T=\frac{290}{9}+273,15.
Em decimal:
T\approx 32,222\overline{2}+273,15=305,372\overline{2}\\ \mathrm{K}.
Arredondando a duas casas decimais:
T\approx305,37\\ \mathrm{K}.

Resposta

-39,75^\circ X
305,37\\ \mathrm{K}

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