3.Uma bolinha de gude,considerada como uma esfera homogênea de raio
rola sem deslizar sobre um plano inclinado,a partir do repouso,de uma certa altura
em relação à horizontal.Ao final do plano inclinado,a bola entra em um laço vertical de raio
,conseguindo percorrer todo o laço sem perder contato com a pista. Considerando que a bolinha rola sem escorregar du- rante todo o percurso,que seu momento de inércia é
,que
e que
,determine a velocidade do seu centro de massa no ponto mais alto do laço(ponto P na figura).
(a)
S2
(c)
(d)
(e)
(a)
S2
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa da bolinha no ponto mais alto do laço (ponto
).\n
Dados fornecidos e hipóteses relevantes:\n
Dados fornecidos e hipóteses relevantes:\n
- A bolinha é uma esfera homogênea de raio
e massa .\n - A bolinha começa do repouso numa altura
(medida em relação à mesma horizontal usada no enunciado).\n - A bolinha rola sem deslizar durante todo o percurso (inclinado e laço).\n
- Momento de inércia:
.\n - O laço tem raio
; no ponto mais alto do laço a bolinha está a uma altura acima do fundo do laço.\n - Suposições adicionais indicadas:
e (isso nos permite tratar a rotação como a de uma esfera pequena rolando sem complicações geométricas).\n
O que precisamos encontrar: a velocidade do centro de massada esfera no ponto mais alto do laço, expressa em termos de , e .
Passo 2
Princípio que vamos usar: conservação de energia mecânica.\n
Explicação didática rápida: como não há atrito que dissipe energia (a esfera rola sem deslizar — o atrito é estático e não faz trabalho), a energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energia cinética de translação + energia cinética de rotação) é conservada ao longo do movimento.\n
Vamos comparar a energia no início (repouso na altura ) com a energia no ponto mais alto do laço (altura
e velocidade
).\n
Para escolher um referencial de energia potencial, tomo zero de energia potencial no fundo do laço; então a energia potencial inicial é e a energia potencial no topo do laço é
.
Explicação didática rápida: como não há atrito que dissipe energia (a esfera rola sem deslizar — o atrito é estático e não faz trabalho), a energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energia cinética de translação + energia cinética de rotação) é conservada ao longo do movimento.\n
Vamos comparar a energia no início (repouso na altura
Para escolher um referencial de energia potencial, tomo zero de energia potencial no fundo do laço; então a energia potencial inicial é
Passo 3
Energia cinética: como a esfera rola sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética simultâneos:\n
- energia cinética de translação do centro de massa:
, onde é a velocidade do centro de massa;\n - energia cinética de rotação em torno do centro de massa:
, onde é o momento de inércia e é velocidade angular.\n
Como a esfera rola sem escorregar, existe a relação de constrição (rolamento sem deslizamento):.\n
Explicando por que: “rolar sem escorregar” significa que o ponto de contato com a pista tem velocidade nula relativa à pista; para uma esfera isso implica que a velocidade linear do centro de massae a velocidade angular satisfazem .
Passo 4
Agora substituímos
e
em
.\n
Dado e
, temos:
Dado
Simplificando os
:
Passo 5
Energia cinética total no topo do laço é a soma das duas contribuições:
Somando os coeficientes:
logo
Passo 6
Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (repouso em
) e o ponto mais alto do laço (altura
e velocidade
):\n
Energia inicial: .\n
Energia no topo: .\n
Igualando :
Energia inicial:
Energia no topo:
Igualando
Podemos cancelar
em ambos os lados e isolar
:
Passo 7
Resolver para
:
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva):
Passo 8
Comentário de verificação (importante para uma prova): para que a bola realmente percorra todo o laço sem perder contato, a velocidade no topo deve ser suficiente para prover a aceleração centrípeta exigida; o caso limite é quando a força normal no topo é zero, o que exige
, ou
. Se o
dado for menor do que aquele que produz
pela expressão acima, a bola perderia contato antes de completar o laço. Fazendo essa verificação com a expressão encontrada dá o
mínimo necessário:
Mas esse é apenas um comentário extra; a velocidade pedida é a dada no passo anterior.