3.Uma bolinha de gude,considerada como uma esfera homogênea de raio r rola sem deslizar sobre um plano inclinado,a partir do repouso,de uma certa altura h em relação à horizontal.Ao final do plano inclinado,a bola entra em um laço vertical de raio R ,conseguindo percorrer todo o laço sem perder contato com a pista. Considerando que a bolinha rola sem escorregar du- rante todo o percurso,que seu momento de inércia é I=\frac{2}{5} m r^{2} ,que r \ll R e que r \ll h ,determine a velocidade do seu centro de massa no ponto mais alto do laço(ponto P na figura).
(a) V_{C M}=\sqrt{\frac{1}{7} g(h-2 R)}
S2 V_{C M}=\sqrt{\frac{10}{7} g(h-2 R)}
(c) V_{C M}=\sqrt{5 g(h-2 R)}
(d) V_{C M}=\sqrt{2 g h}
(e) V_{C M}=\sqrt{2 g(h-2 R)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do centro de massa da bolinha no ponto mais alto do laço (ponto P).\n
Dados fornecidos e hipóteses relevantes:\n
  • A bolinha é uma esfera homogênea de raio r e massa m.\n
  • A bolinha começa do repouso numa altura h (medida em relação à mesma horizontal usada no enunciado).\n
  • A bolinha rola sem deslizar durante todo o percurso (inclinado e laço).\n
  • Momento de inércia: I=\frac{2}{5} m r^{2}.\n
  • O laço tem raio R; no ponto mais alto do laço a bolinha está a uma altura 2R acima do fundo do laço.\n
  • Suposições adicionais indicadas: r\ll R e r\ll h (isso nos permite tratar a rotação como a de uma esfera pequena rolando sem complicações geométricas).\n
    O que precisamos encontrar: a velocidade do centro de massa V_{CM} da esfera no ponto mais alto do laço, expressa em termos de g, h e R.

Passo 2

Princípio que vamos usar: conservação de energia mecânica.\n
Explicação didática rápida: como não há atrito que dissipe energia (a esfera rola sem deslizar — o atrito é estático e não faz trabalho), a energia mecânica total (energia potencial gravitacional + energia cinética de translação + energia cinética de rotação) é conservada ao longo do movimento.\n
Vamos comparar a energia no início (repouso na altura h) com a energia no ponto mais alto do laço (altura 2R e velocidade V_{CM}).\n
Para escolher um referencial de energia potencial, tomo zero de energia potencial no fundo do laço; então a energia potencial inicial é m g h e a energia potencial no topo do laço é m g (2R).

Passo 3

Energia cinética: como a esfera rola sem deslizar, ela tem dois tipos de energia cinética simultâneos:\n
  • energia cinética de translação do centro de massa: \displaystyle K_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2} m V_{CM}^{2}, onde V_{CM} é a velocidade do centro de massa;\n
  • energia cinética de rotação em torno do centro de massa: \displaystyle K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} I \omega^{2}, onde I é o momento de inércia e \omega é velocidade angular.\n
    Como a esfera rola sem escorregar, existe a relação de constrição (rolamento sem deslizamento): \displaystyle V_{CM}=\omega\, r.\n
    Explicando por que: “rolar sem escorregar” significa que o ponto de contato com a pista tem velocidade nula relativa à pista; para uma esfera isso implica que a velocidade linear do centro de massa V_{CM} e a velocidade angular \omega satisfazem V_{CM}=\omega r.

Passo 4

Agora substituímos I e \omega em K_{\text{rot}}.\n
Dado I=\tfrac{2}{5} m r^{2} e \omega=V_{CM}/r, temos:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}\,I\,\omega^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} m r^{2}\cdot\left(\frac{V_{CM}}{r}\right)^{2}.
Simplificando os r^{2}:
K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{5} m V_{CM}^{2}.

Passo 5

Energia cinética total no topo do laço é a soma das duas contribuições:
K_{\text{total}}=K_{\text{trans}}+K_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2} m V_{CM}^{2}+\tfrac{1}{5} m V_{CM}^{2}.
Somando os coeficientes:
\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}=\tfrac{5}{10}+\tfrac{2}{10}=\tfrac{7}{10},
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K_{\text{total}}=\tfrac{7}{10} m V_{CM}^{2}.

Passo 6

Aplicando conservação de energia entre o ponto inicial (repouso em h) e o ponto mais alto do laço (altura 2R e velocidade V_{CM}):\n
Energia inicial: E_i = m g h + 0.\n
Energia no topo: E_f = m g (2R) + K_{\text{total}} = m g (2R) + \tfrac{7}{10} m V_{CM}^{2}.\n
Igualando E_i = E_f:
m g h = m g (2R) + \tfrac{7}{10} m V_{CM}^{2}.
Podemos cancelar m em ambos os lados e isolar V_{CM}^{2}:
g h - g (2R) = \tfrac{7}{10} V_{CM}^{2}.
g(h-2R)=\tfrac{7}{10} V_{CM}^{2}.

Passo 7

Resolver para V_{CM}:
V_{CM}^{2}=\frac{10}{7}\,g(h-2R).
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva):
V_{CM}=\sqrt{\frac{10}{7}\,g(h-2R)}.

Passo 8

Comentário de verificação (importante para uma prova): para que a bola realmente percorra todo o laço sem perder contato, a velocidade no topo deve ser suficiente para prover a aceleração centrípeta exigida; o caso limite é quando a força normal no topo é zero, o que exige \tfrac{m V_{CM}^{2}}{R}=m g, ou V_{CM}^{2}=gR. Se o h dado for menor do que aquele que produz V_{CM}^{2}=gR pela expressão acima, a bola perderia contato antes de completar o laço. Fazendo essa verificação com a expressão encontrada dá o h mínimo necessário:
\frac{10}{7}g(h_{\min}-2R)=gR \quad\Rightarrow\quad h_{\min}=2R+\tfrac{7}{10}R= \tfrac{27}{10} R.
Mas esse é apenas um comentário extra; a velocidade pedida é a dada no passo anterior.

Resposta

\displaystyle V_{CM}=\sqrt{\frac{10}{7}\,g(h-2R)}

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