3.2Z Calcule o volume do sólido delimitado pelo parabolóide x^2+y^2=z e pelos planos z=0 z=16, x=1 e x=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido em R^3 limitado pelas superfícies
  1. o parabolóide x^2+y^2=z (face lateral inferior),
  2. o plano z=0 (face inferior),
  3. o plano z=16 (face superior),
  4. o plano x=1 e o plano x=3 (faces verticais).
    O conteúdo envolve usar integração tripla para calcular volumes, identificando bem a região de integração e escolhendo uma ordem de integração conveniente.

Passo 2

Para cada xin[1,3], a seção transversal em planos paralelos a yz é
(y,z)mid x^2+y^2<= z<=16
desde que o parabolóide e o plano superior só se intersectam para y^2<=16-x^2. Logo
1<= x<=3, -raiz16-x^2,<= y<= raiz16-x^2, x^2+y^2<= z<=16
Assim o volume é
V=integralx=1^3integraly=-raiz16-x^2^raiz16-x^2 integralz=x^2+y^2^16dz,dy,dx

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralz=x^2+y^2^16dz=16-(x^2+y^2)
Então
V=integral1^3integral-raiz16-x^2^raiz16-x^2l(16-x^2-y^2r),dy,dx
Usando simetria em y, com a=raiz16-x^2,
integral-a^a(16-x^2-y^2)dy =2a(16-x^2)-2a^33 =43a,(16-x^2) =43(16-x^2)^3/2
Logo sobra
V=43integral1^3(16-x^2)^3/2,dx

Passo 4

Para avaliar I=integral(16-x^2)^3/2dx fazemos
x=4sintheta, dx=4costheta,dtheta,
16-x^2=16cos^2thetaLongrightarrow(16-x^2)^3/2=64cos^3theta
Então
I =integral64cos^3thetacdot4costheta,dtheta =256integralcos^4theta,dtheta =256integral3+4cos2theta+cos4theta8,dtheta
=32l(3theta+2sin2theta+tfrac14sin4thetar)+C
Voltando a x, theta=arcsin(x/4), e avaliando de x=1 a x=3 e multiplicando por 4/3 dá, após simplificar,
V =128l(arcsin!tfrac34-arcsin!tfrac14r) +31raiz7-13raiz15

Resposta

V =128l(arcsin(tfrac34)-arcsin(tfrac14)r) +31raiz7-13raiz15

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