3.2Z Calcule o volume do sólido delimitado pelo parabolóide
e pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido em
limitado pelas superfícies
- o parabolóide
(face lateral inferior), - o plano
(face inferior), - o plano
(face superior), - o plano
e o plano (faces verticais).
O conteúdo envolve usar integração tripla para calcular volumes, identificando bem a região de integração e escolhendo uma ordem de integração conveniente.
Passo 2
Para cada
, a seção transversal em planos paralelos a
é
desde que o parabolóide e o plano superior só se intersectam para
. Logo
Assim o volume é
Passo 3
Integramos primeiro em
:
Então
Usando simetria em
, com
,
Logo sobra
Passo 4
Para avaliar
fazemos
Então
Voltando a
,
, e avaliando de
a
e multiplicando por
dá, após simplificar,