(a) 5 x-2x^2-4=Ax-2+Bx+2
(b) 2 x+1x^3+x=Ax+B x+Cx^2+1
© 7 x+14x^2+x-12=Ax-3+Bx+4
(d) x^2+2x^3-1=Ax-1+B x+Cx^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede para decompor quatro frações racionais em frações parciais. O conteúdo aqui é frações parciais em razão de polinômios. Para cada item vamos: fatorar o denominador, escrever a forma proposta com constantes A, B (e C quando necessário), multiplicar ambos os lados pelo denominador comum e comparar coeficientes ou usar valores especiais de x para encontrar as constantes.

Passo 2

Para o item (a) temos o denominador fatorado como x^2-4=(x-2)(x+2). Montamos
5x-2(x-2)(x+2)=Ax-2+Bx+2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x+2) vem
5x-2=A(x+2)+B(x-2)

Passo 4

Expandindo e comparando coeficientes ou usando x=2 e x=-2 chegamos a
A=2, B=3

Passo 5

No item (b) o denominador é x^3+x=x(x^2+1) e propomos
2x+1x(x^2+1)=Ax+Bx+Cx^2+1

Passo 6

Multiplicando pelo denominador comum:
2x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)x

Passo 7

Isso dá o polinômio
(A+B)x^2+Cx+A=2x+1

Passo 8

Comparando coeficientes resulta em
A+B=0, C=2, A=1,

Passo 9

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A=1,;B=-1,;C=2

Passo 10

No item © fatoramos x^2+x-12=(x-3)(x+4) e escrevemos
7x+14(x-3)(x+4)=Ax-3+Bx+4

Passo 11

Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
7x+14=A(x+4)+B(x-3)

Passo 12

Comparando coeficientes obtemos
A+B=7,4A-3B=14,

Passo 13

cuja solução é
A=5, B=2

Passo 14

No item (d) temos x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) e propomos
x^2+2(x-1)(x^2+x+1)=Ax-1+Bx+Cx^2+x+1

Passo 15

Multiplicando pelo denominador comum gera
x^2+2=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1),

Passo 16

que expandido e comparado dá o sistema
A+B=1, A+C-B=0, A-C=2

Passo 17

Resolvendo vem
A=1,;B=0,;C=-1

Resposta

(a) 5x-2x^2-4=2x-2+3x+2
(b) 2x+1x^3+x=1x+-x+2x^2+1
© 7x+14x^2+x-12=5x-3+2x+4
(d) x^2+2x^3-1=1x-1+0cdot x-1x^2+x+1=1x-1-1x^2+x+1

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