(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. A gente vai usar o método de frações parciais, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Esses números são
e
, porque
e
.
Então, reescrevemos o polinômio:
Portanto, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração
em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão
:
Expandindo:
Agrupando os termos com
e constantes:
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos escrever a decomposição:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que
, onde
é a constante de integração.
Então:
E:
Juntando tudo: