(2,0 pontos) Calcular a integral abaixo, empregando o método de frações parciais.
integral x+12 x^2+3 x-2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral x+12 x^2+3 x-2 , dx. A gente vai usar o método de frações parciais, que faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e depois separar a fração em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^2 + 3x - 2. A ideia é encontrar dois números que multiplicados dão 2 times (-2) = -4 e somados dão 3.
Esses números são 4 e -1, porque 4 times (-1) = -4 e 4 + (-1) = 3.
Então, reescrevemos o polinômio:
2x^2 + 4x - x - 2 = (2x^2 + 4x) + (-x - 2) = 2x(x + 2) -1(x + 2) = (2x -1)(x +2)
Portanto, o denominador fatorado é (2x -1)(x +2).

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração x+1(2x -1)(x +2) em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes A e B tais que:
x+1(2x -1)(x +2) = A2x -1 + Bx +2
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão (2x -1)(x +2):
x +1 = A(x +2) + B(2x -1)
Expandindo:
x +1 = A x + 2A + 2B x - B
Agrupando os termos com x e constantes:
x +1 = (A + 2B)x + (2A - B)
Agora, igualamos os coeficientes:
A + 2B = 1 2A - B = 1
Resolvendo esse sistema:
Da segunda equação: 2A - B =1 Rightarrow B = 2A -1
Substituindo na primeira equação:
A + 2(2A -1) =1 Rightarrow A +4A -2 =1 Rightarrow 5A =3 Rightarrow A = 35
Então, B = 2 times 35 -1 = 65 -1 = 15

Passo 4

Agora que temos A = 35 e B = 15, podemos escrever a decomposição:
x+12 x^2+3 x-2 = 352x -1 + 15x +2
Então, a integral fica:
integral x+12 x^2+3 x-2 , dx = 35 integral 12x -1 , dx + 15 integral 1x +2 , dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que integral 1ax + b , dx = 1a ln|ax + b| + C, onde C é a constante de integração.
Então:
35 integral 12x -1 , dx = 35 times 12 ln|2x -1| = 310 ln|2x -1|
E:
15 integral 1x +2 , dx = 15 ln|x +2|
Juntando tudo:
310 ln|2x -1| + 15 ln|x +2| + C

Resposta

integral x+12 x^2+3 x-2 , dx = 310 ln|2x -1| + 15 ln|x +2| + C

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