Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui. A gente precisa resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Isso envolve conceitos de equações diferenciais lineares, onde a solução geral é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular. Vamos precisar usar métodos para encontrar ambas as partes e combinar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, aquela sem o termo da direita:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma $ y = e^{\lambda x} $ e substituímos na equação:
Dividindo por $ e^{\lambda x} $ (que nunca é zero), temos a equação característica:
Resolvendo para $ \lambda $:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular $ y_p $ para a equação completa. Como o lado direito é $ 4x^{2} e{x{2}} $, vamos tentar uma solução na forma:
Aqui, $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos determinar. A ideia é que, ao substituir $ y_p $ na equação original, consigamos resolver para esses coeficientes.
Primeiro, calculamos as derivadas de $ y_p $:
Depois de simplificar e substituir na equação original, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $. Após os cálculos (que envolvem bastante álgebra), descobrimos que:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
Finalmente, juntando a solução homogênea com a particular, a solução geral da equação diferencial é: