5.2X Deixa-se cair de uma altura de 300 m uma bola de 75 kg . Determine a velocidade limite v da bola, se a força, devido à resistência do ar, é de -0,5 v.

Passo 1

O enunciado diz que uma bola de massa m=75 kg é deixada cair e sofre, além do peso, uma força de resistência do ar dada por -0,5,v. O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem (Leis de Newton) para movimento unidimensional com força de resistência proporcional à velocidade. Nosso objetivo é encontrar a velocidade limite (terminal) ,v, isto é, o valor de v quando a aceleração se anula.

Passo 2

Aplicamos a segunda lei de Newton no eixo vertical, tomando o sentido para baixo como positivo. As forças são o peso mg (para baixo) e a resistência do ar -0,5,v (para cima). Logo a equação diferencial é
mdvdt = mg - 0,5,v

Passo 3

A velocidade limite ocorre quando a aceleração se anula, isto é, dvdt=0. Substituindo na equação, temos
0 = mg - 0,5,vlim Longrightarrow 0,5,vlim = mg Longrightarrow vlim = mg0,5

Passo 4

Substituindo m=75 kg e g=9,8 m/s ^2,
vlim = 75 cdot 9,80,5 = 7350,5 = 1470 m/s

Resposta

A velocidade limite da bola é
v = 1470 m/s

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