Determine:
a derivada em x=0 da função f(g(3 x))g(x), sabendo que f(1)=2, f^prime(1)=3, g(0)=1, g^prime(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada em x=0 da função
h(x)=fl(g(3x)r)g(x),
sabendo que f(1)=2, f'(1)=3, g(0)=1 e g'(0)=2. Vamos usar expansões em série de Taylor até a ordem linear e, em seguida, aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Expandimos g(3x) em torno de x=0. Como g(0)=1 e g'(0)=2, temos
g(3x)=g(0)+g'(0),(3x)+o(x)=1+2cdot3x+o(x)=1+6x+o(x)

Passo 3

Expandimos fl(g(3x)r) em torno de g(3x)=1. Como f(1)=2 e f'(1)=3,
fl(g(3x)r)=f(1)+f'(1)l(g(3x)-1r)+o(x) =2+3,(6x)+o(x)=2+18x+o(x)

Passo 4

Expandimos o denominador g(x) em torno de x=0. Como g(0)=1 e g'(0)=2,
g(x)=1+2x+o(x)

Passo 5

Agora
h(x)=2+18x+o(x)1+2x+o(x)
Para obter h'(0) usamos a regra do quociente:
h'(0) =l(18r)cdot(1)-l(2r)cdot(2)1^2 =18-4 =14

Resposta

14

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