Mostre que f(0)=f(pi) e que não existe c in(0, pi) tal que f^prime(c)= 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Passo 1
O enunciado tem duas partes: (a) pedir o enunciado do Teorema de Rolle; (b) analisar a função
f(x)= sin x, &0<= x<= pi2,[6pt] -tfrac2pix+2, &pi2<x<= pi
para mostrar que f(0)=f(pi) mas não existe cin(0,pi) com f'(c)=0, e explicar por que isso não contradiz o Teorema de Rolle. Vamos usar as condições de continuidade, diferenciabilidade e igualdade dos valores nos extremos.]
Passo 2
O Teorema de Rolle afirma:
Se uma função f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e satisfaz f(a)=f(b), então existe pelo menos um ponto cin(a,b) tal que
f'(c)=0
Passo 3
Vamos verificar que f(0)=f(pi).
Para x=0, cai no primeiro trecho e f(0)=sin0=0.
Para x=pi, cai no segundo trecho e
f(pi)=-tfrac2pi,pi+2=-2+2=0
Logo
f(0)=0=f(pi)
Passo 4
Agora calculamos f'(x) em cada intervalo onde f é diferenciável:
Se xin(0,tfracpi2), então f(x)=sin x e
f'(x)=cos x
Como cos x>0 em (0,tfracpi2), não há ponto aí com f'(x)=0.
Se xin(tfracpi2,pi), então f(x)=-tfrac2pix+2 e
f'(x)=-tfrac2pi,
que é constante e diferente de zero. Portanto não existe cin(0,pi) tal que f'(c)=0.
Passo 5
O Teorema de Rolle exige que f seja diferenciável em todo o intervalo aberto (0,pi). Porém, neste exemplo f não é diferenciável em x=tfracpi2 (há mudança de definição com cantos na junção). Assim a hipótese de diferenciabilidade em (0,pi) falha e não há contradição com o Teorema de Rolle.
Resposta
(a) Se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b) e f(a)=f(b), então existe cin(a,b) com f'(c)=0.
(b) Verificamos que f(0)=f(pi)=0 e que em (0,pi) as derivadas são sempre positivas ou sempre negativas, sem zeros. Não contradiz Rolle pois f não é diferenciável em x=tfracpi2, violando as hipóteses do teorema.