Se f(x)=e^5 x+2tg(2 x+pi4), encontre o coeficiente angular da reta tangente a f no ponto em que x=0.
(b) Calcule lim x 0(1-2 x)^1x. Sugestão: Tome t=-2 x.
3. (a) Ache f^prime(1) sabendo que f(x)=x^ln h(x), x>0, e que h(1)=e.

Passo 1

O enunciado pede três cálculos distintos:
  1. (a) o coeficiente angular da reta tangente a
f(x)=e^5x+2tgl(2x+tfracpi4r)
no ponto em que x=0;
2. (b) o limite
limxto0(1-2x)^1x
utilizando a sugestão t=-2x;
3. (c) a derivada em x=1 de
f(x)=x^ln h(x), x>0,
sabendo que h(1)=e.
Para (a) e (c) vamos usar diferenciação logarítmica e regra da cadeia; para (b) faremos mudança de variável.

Passo 2

Para (a) definimos
ln f(x)=5x+2-ln!l(tg(2x+tfracpi4)r)
Derivando ambos os lados,
f'(x)f(x) =5-2sec^2!l(2x+tfracpi4r)tg!l(2x+tfracpi4r)
Em x=0 temos tg(pi/4)=1, sec^2(pi/4)=2 e
f(0)=e^21=e^2
Logo
f'(0) =e^2l(5-2cdot21r) =e^2cdot1 =e^2

Passo 3

Para (b) use t=-2x, de modo que 1-2x=1+t e 1/x=-2/t. Assim
(1-2x)^1x =(1+t)^-2t
e quando xto0 temos tto0, de modo que
limxto0(1-2x)^1x =limtto0(1+t)^-2t =e^-2

Passo 4

Para (c) defina
ln f(x)=ln h(x),ln x
Derivando,
f'(x)f(x) =ln h(x)x+ln x;h'(x)h(x)
Em x=1 vale f(1)=1^ln h(1)=1, ln h(1)=ln e=1 e ln1=0. Logo
f'(1) =1l(tfrac11+0r) =1

Resposta

(a) e^2
(b) e^-2
(c) 1

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