2x+5y+3z=10 é a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (1,1,1).
Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria analítica que envolve derivadas parciais. O enunciado nos dá a equação de um plano tangente a um gráfico de uma função f(x, y) no ponto (1,1,1). Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de f em relação a x e a y nesse ponto, ou seja, partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1). Para isso, vamos usar o conceito de plano tangente a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação do plano tangente a uma superfície z = f(x, y) no ponto (x0, y0, z0). A equação geral do plano tangente é:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Aqui, fx e fy representam as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente, avaliadas no ponto (x0, y0).

Passo 3

No nosso caso, o ponto dado é (1,1,1), então substituindo x0 = 1, y0 = 1 e z0 = 1, a equação do plano tangente fica:
z - 1 = fx(1, 1)(x - 1) + fy(1, 1)(y - 1)

Passo 4

Também nos foi dada a equação do plano tangente:
2x + 5y + 3z = 10
Vamos reorganizar essa equação para que ela fique na forma padrão do plano tangente que vimos anteriormente. Para isso, isolamos z:
3z = -2x -5y +10 z = -23x -53y + 103

Passo 5

Agora, comparando a equação reorganizada com a equação geral do plano tangente, temos:
z - 1 = fx(1, 1)(x - 1) + fy(1, 1)(y - 1)
e
z = -23x -53y + 103
Podemos igualar as duas expressões para z:
-23x -53y + 103 = fx(1, 1)(x - 1) + fy(1, 1)(y - 1) + 1

Passo 6

Para encontrar as derivadas parciais, vamos comparar os coeficientes de x e y nas duas equações. Observamos que:
  • O coeficiente de x na equação reorganizada é -23, que corresponde a fx(1, 1).
  • O coeficiente de y na equação reorganizada é -53, que corresponde a fy(1, 1).

Passo 7

Portanto, temos:
fx(1, 1) = -23 fy(1, 1) = -53

Resposta

partial fpartial x(1,1) = -23 e partial fpartial y(1,1) = -53

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