é a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria analítica que envolve derivadas parciais. O enunciado nos dá a equação de um plano tangente a um gráfico de uma função
no ponto
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
nesse ponto, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de plano tangente a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação do plano tangente a uma superfície
no ponto
. A equação geral do plano tangente é:
Aqui,
e
representam as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, avaliadas no ponto
.
Passo 3
No nosso caso, o ponto dado é
, então substituindo
,
e
, a equação do plano tangente fica:
Passo 4
Também nos foi dada a equação do plano tangente:
Vamos reorganizar essa equação para que ela fique na forma padrão do plano tangente que vimos anteriormente. Para isso, isolamos
:
Passo 5
Agora, comparando a equação reorganizada com a equação geral do plano tangente, temos:
e
Podemos igualar as duas expressões para
:
Passo 6
Para encontrar as derivadas parciais, vamos comparar os coeficientes de
e
nas duas equações. Observamos que:
- O coeficiente de
na equação reorganizada é , que corresponde a . - O coeficiente de
na equação reorganizada é , que corresponde a .
Passo 7
Portanto, temos: