Seja A uma matriz simétrica não-nula 3 times 3. Considere a função
f(x)=12lang<= A x, xrang<=
Calcule nabla f(x).

Passo 1

Temos a função f(x)=\tfrac12\langle A x,x\rangle que pode ser escrita como f(x)=\tfrac12 x^T A x. Aqui A é uma matriz simétrica 3×3 e queremos computar ∇f(x). Para isso precisamos usar o conceito de gradiente de uma forma quadrática.

Passo 2

Para uma função geral definida por f(x)=\tfrac12 x^T A x, a fórmula do gradiente é
∇f(x)=12(A + A^T)x
Isso vem de derivar cada componente de x combinando termos de A x.

Passo 3

Como A é simétrica, temos A^T=A, logo
∇f(x)=12(A + A)x=Ax
Portanto a simplificação usando a simetria de A dá o resultado desejado.

Resposta

∇f(x)=Ax

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