Seja
uma matriz simétrica não-nula
. Considere a função
Calcule
.
Passo 1
Temos a função f(x)=\tfrac12\langle A x,x\rangle que pode ser escrita como f(x)=\tfrac12 x^T A x. Aqui A é uma matriz simétrica 3×3 e queremos computar ∇f(x). Para isso precisamos usar o conceito de gradiente de uma forma quadrática.
Passo 2
Para uma função geral definida por f(x)=\tfrac12 x^T A x, a fórmula do gradiente é
Isso vem de derivar cada componente de x combinando termos de A x.
Passo 3
Como A é simétrica, temos A^T=A, logo
Portanto a simplificação usando a simetria de A dá o resultado desejado.
Resposta
∇f(x)=Ax