Determine o ponto no elipsóide 2 x^2+4 y^2+3 z^2=1 que maximiza a soma x+7 y+3 z.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o ponto no elipsóide 2x^2+4y^2+3z^2=1 que maximiza a soma x+7y+3z. Para isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, técnica de otimização com restrição.

Passo 2

O método diz que no ponto ótimo devemos ter nabla f = lambda,nabla g, onde f(x,y,z)=x+7y+3z é a função objetivo e g(x,y,z)=2x^2+4y^2+3z^2-1=0 é a restrição.
Calculando os gradientes, temos nabla f=(1,7,3) e nabla g=(4x,8y,6z).
Igualando nabla f = lambda,nabla g, obtemos o sistema:
  • 1 = 4lambda x
  • 7 = 8lambda y
  • 3 = 6lambda z
    Isso nos dará expressões de x,y,z em função de lambda.

Passo 3

Resolvendo cada equação: x=1/(4lambda), y=7/(8lambda) e z=3/(6lambda)=1/(2lambda).
Agora, aplicamos a restrição 2x^2+4y^2+3z^2=1. Substituindo as expressões de x,y,z em termos de lambda obtemos:
2l(14lambdar)^2 + 4l(78lambdar)^2 + 3l(12lambdar)^2 = 1
Ao simplificar, juntamos as frações: 18lambda^2 + 4916lambda^2 + 34lambda^2 = 6316lambda^2 = 1,
do que resulta lambda^2 = tfrac6316.

Passo 4

Para maximizar, escolhemos lambda = +tfrac3raiz74. Substituindo de volta em x=1/(4lambda), y=7/(8lambda) e z=1/(2lambda), achamos:
x=tfrac1raiz63, y=tfrac72raiz63, z=tfrac2raiz63.

Resposta

l(tfrac1raiz63,;tfrac72raiz63,;tfrac2raiz63r)

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