Determine o ponto no elipsóide
que maximiza a soma
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar o ponto no elipsóide
que maximiza a soma
. Para isso, vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, técnica de otimização com restrição.
Passo 2
O método diz que no ponto ótimo devemos ter
, onde
é a função objetivo e
é a restrição.
Calculando os gradientes, temos e
.
Igualando , obtemos o sistema:
Calculando os gradientes, temos
Igualando
-
-
-
Isso nos dará expressões deem função de .
Passo 3
Resolvendo cada equação:
,
e
.
Agora, aplicamos a restrição . Substituindo as expressões de
em termos de
obtemos:
Agora, aplicamos a restrição
Ao simplificar, juntamos as frações:
,
do que resulta .
do que resulta
Passo 4
Para maximizar, escolhemos
. Substituindo de volta em
,
e
, achamos:
.