x y zx^2+y^4+z^4
tende a 0 quando (x, y, z) (0,0,0) ao longo de qualquer reta x=a t, y=b t, z=c t.
(b) Mostre que o limite
lim (x, y, z) (0,0,0) x y zx^2+y^4+z^4
não existe tomando (x, y, z) (0,0,0) ao longo da curva x=t^2, y=t, z=t.

Passo 1

Estamos estudando o limite da função f(x,y,z)=xyzx^2+y^4+z^4 quando (x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo é limite de funções de várias variáveis e dependência de trajetória: queremos mostrar que ao longo de qualquer reta x=at,;y=bt,;z=ct o limite é zero, mas existe uma curva especial que dá outro valor.

Passo 2

Substituindo a reta x=at,;y=bt,;z=ct em f, temos
f(at,bt,ct)=(at)(bt)(ct)(at)^2+(bt)^4+(ct)^4=abc,t^3a^2t^2+b^4t^4+c^4t^4

Passo 3

Fatorando t^2 no denominador,
f(at,bt,ct)=abc,t^3t^2l(a^2+(b^4+c^4)t^2r)=abca^2+(b^4+c^4)t^2;t

Passo 4

Como a,b,c são constantes e o fator tto0 quando tto0, concluímos que
limtto0f(at,bt,ct)=0

Passo 5

Agora, seguindo a curva x=t^2,;y=t,;z=t, substituímos em f:
f(t^2,t,t)=(t^2)(t)(t)(t^2)^2+t^4+t^4=t^4t^4+t^4+t^4=t^43t^4=13(tneq0)

Passo 6

Como o limite ao longo das retas é zero mas ao longo dessa curva é 1/3, os valores diferem e o limite geral não existe.

Resposta

O limite ao longo de qualquer reta é 0, mas ao longo da curva (t^2,t,t) vale 1/3. Logo, o limite não existe.

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