Calcule:
integral0^pi3 sen x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi3 sin x cos^2 x , dx. Esse exercício está na área de cálculo integral, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a substituição, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sin x cos^2 x. Podemos reescrever cos^2 x como 1 - sin^2 x usando a identidade trigonométrica cos^2 x = 1 - sin^2 x. Então, a integral fica:
integral0^pi3 sin x (1 - sin^2 x) , dx

Passo 3

Agora, distribuímos sin x dentro do parêntese:
integral0^pi3 (sin x - sin^3 x) , dx
Isso nos dá duas integrais separadas que podemos resolver individualmente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, a integral de sin x:
integral sin x , dx = -cos x + C
E a integral de sin^3 x pode ser resolvida usando uma substituição. Vamos considerar sin^3 x = sin x (1 - cos^2 x) e usar a substituição u = cos x, então du = -sin x , dx.

Passo 5

Aplicando a substituição para integral sin^3 x , dx:
integral sin x (1 - cos^2 x) , dx = -integral (1 - u^2) , du = -( u - u^33 ) + C
Substituindo u = cos x de volta:
-( cos x - cos^3 x3 ) + C = -cos x + cos^3 x3 + C

Passo 6

Agora, juntando as duas integrais:
integral0^pi3 (sin x - sin^3 x) , dx = [-cos x]0^pi3 - [-cos x + cos^3 x3]0^pi3
Simplificando:
[-cos(pi3) + cos(0)] - [ -cos(pi3) + cos^3(pi3)3 + cos(0) - cos^3(0)3 ]

Passo 7

Calculando os valores das funções trigonométricas:
cos(pi3) = 12 e cos(0) = 1
Substituindo:
[-12 + 1] - [-12 + (12)^33 + 1 - 1^33] = [12] - [-12 + 124 + 1 - 13]

Passo 8

Simplificando os termos dentro do segundo colchete:
-12 + 124 + 1 - 13 = (-12 + 1) + (124 - 13) = 12 - 724 = 1224 - 724 = 524
Então, a expressão fica:
12 - 524 = 1224 - 524 = 724

Resposta

O valor da integral é 724.

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