1. lim (x, y, z) (0,0,0) x y zx^2+y^2+z^2
  2. lim (x, y, z) (0,0,0) sen x sen yraizx^2+2 y^2+3 z^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de funções de três variáveis quando (x,y,z)→(0,0,0). Isso envolve aplicação do teorema do confronto (squeeze theorem) e uso de desigualdades elementares para mostrar que ambas as expressões tendem a zero.

Passo 2

Para a questão 27, note que
|xyzx^2+y^2+z^2| = |x|,|y|,|z|x^2+y^2+z^2
Usamos que para todo a, b ≥ 0 vale abc <= (a^2+b^2+c^2)^3/2/raiz27, mas mais simples é observar:
|x| <= raizx^2+y^2+z^2,
e o mesmo para |y| e |z|. Então
|x|,|y|,|z| <= (x^2+y^2+z^2)^3/2
Assim
|xyzx^2+y^2+z^2| <= (x^2+y^2+z^2)^3/2x^2+y^2+z^2 = raizx^2+y^2+z^2,
e como raizx^2+y^2+z^2 to 0 quando (x,y,z)to(0,0,0), pela regra do confronto o limite é 0.

Passo 3

Para a questão 28, usamos que |sin t| <= |t| para todo t. Então
|sin x sin yraizx^2+2y^2+3z^2| <= |x|,|y|raizx^2+2y^2+3z^2
Além disso, para quaisquer x,y vale
|x|,|y| <= x^2+y^22
e também x^2+2y^2+3z^2 >= x^2+y^2. Logo
|x|,|y|raizx^2+2y^2+3z^2 <= (x^2+y^2)/2raizx^2+y^2 = raizx^2+y^22
Como raizx^2+y^2/2 to 0 quando (x,y,z)to(0,0,0), pelo confronto esse segundo limite também é 0.

Resposta

  1. 0
  2. 0

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