a. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = z e z = 2y}
b. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 = 9} e 4x + 4y = z^2, z ≥ 0
c. C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z = 1} e 2x + 2y + z = 1;
d. C = {(x, y, z) in R^3: x > 0, x^2 + y^2 - z^2 = 4} e z = x + y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o conjunto definido por duas equações:
Aqui estamos trabalhando com geometria no espaço tridimensional ( ). Para resolver isso, precisamos relacionar as duas equações e descobrir como , e se comportam juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a segunda equação na primeira. Assim, ficamos com:
Isso simplifica nossa relação entre e .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para completar o quadrado:
Isso mostra que a equação representa um círculo no plano com centro em e raio 1.

Passo 4

Como , e ou (a partir do círculo), podemos expressar em termos de .

Passo 5

Portanto, o conjunto é uma curva no espaço tridimensional que segue o perfil de um círculo movendo-se ao longo do eixo de acordo com .

Passo 6

Agora, vamos para a parte b. Temos o conjunto definido por:
Novamente, estamos no espaço tridimensional. Precisamos entender como essas duas equações interagem para definir .

Passo 7

Primeiro, a equação representa um círculo de raio 3 no plano .

Passo 8

A segunda equação relaciona , e . Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que está relacionado ao quadrado de .

Passo 9

Como , será sempre não negativo. Assim, podemos expressar em termos de e :
Desde que para ser real.

Passo 10

Portanto, é o conjunto de pontos no círculo para os quais , com determinado por .

Passo 11

Seguimos para a parte c. Aqui, o conjunto é definido por:
Vamos analisar essas duas equações no espaço tridimensional.

Passo 12

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Isso simplifica para:

Passo 13

Completando o quadrado para e :
Isso representa um círculo com centro em e raio .

Passo 14

Agora, usando a primeira equação , podemos expressar em termos de e :
Como já temos , podemos substituir:
Mas da segunda equação, sabemos que , então confirma que a expressão para está correta.

Passo 15

Assim, é o conjunto de pontos que formam um círculo no plano definido por , com .

Passo 16

Finalmente, vamos para a parte d. O conjunto é definido por:
Vamos entender como essas condições se combinam no espaço tridimensional.

Passo 17

Primeiro, a inequação nos limita ao hemisfério onde é positivo.

Passo 18

A equação relaciona diretamente com e . Podemos usar isso para substituir na outra equação:

Passo 19

Expandindo :
Então, a relação entre e é .

Passo 20

Como e , isso implica que deve ser negativo (porque é positivo e o produto é negativo).
Além disso, com , podemos expressar em termos de :
Isso dá uma parametrização de em função de .

Resposta

O conjunto é a curva definida por com e . Em termos de parametrização, para cada , temos e .

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