a. lang<=gamma1(t), gamma2(t)rang<=^prime=lang<=gamma1^prime(t), gamma2(t)rang<=+lang<=gamma1(t), gamma2^prime(t)rang<=;
b. (gamma1(t) times gamma2(t))^prime=gamma1^prime(t) times gamma2(t)+gamma1(t) times gamma2^prime(t).
Com isso obtenha uma expressão para a derivada do produto misto e da norma:
[gamma1(t), gamma2(t), gamma3(t)]=lang<=gamma1(t), gamma2(t) times gamma3(t)rang<= e |gamma1(t)|=raizlang<=gamma1(t), gamma1(t)rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada do produto misto e da norma de vetores, usando as regras de derivação para o produto escalar e o produto vetorial. Vamos precisar entender como derivar expressões que envolvem esses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto misto. O produto misto de três vetores [ gamma1(t), gamma2(t), gamma3(t) ] = lang<= gamma1(t), gamma2(t) times gamma3(t) rang<= , e é dado por:
Isso significa que fazemos o produto vetorial de e , e depois o produto escalar com .

Passo 3

Para encontrar a derivada do produto misto, vamos aplicar a regra da derivação para o produto escalar e para o produto vetorial que foram dadas no enunciado.
Começamos derivando:
[ gamma1(t), gamma2(t), gamma3(t) ]' = ddt lang<= gamma1(t), gamma2(t) times gamma3(t) rang<=

Passo 4

Aplicando a regra do produto escalar:
ddt lang<= gamma1, gamma2 times gamma3 rang<= = lang<= gamma1', gamma2 times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, ddt (gamma2 times gamma3) rang<=

Passo 5

Agora, precisamos derivar o produto vetorial ddt (gamma2 times gamma3) = gamma2' times gamma3 + gamma2 times gamma3' . Usando a regra de derivação do produto vetorial:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do produto misto:
[ gamma1, gamma2, gamma3 ]' = lang<= gamma1', gamma2 times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2' times gamma3 + gamma2 times gamma3' rang<=

Passo 7

Podemos distribuir o produto escalar:
[ gamma1, gamma2, gamma3 ]' = lang<= gamma1', gamma2 times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2' times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2 times gamma3' rang<=

Passo 8

Então, a derivada do produto misto é:
[ gamma1, gamma2, gamma3 ]' = lang<= gamma1', gamma2 times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2' times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2 times gamma3' rang<=

Passo 9

Agora, vamos encontrar a derivada da norma de | gamma1(t) | = raiz lang<= gamma1(t), gamma1(t) rang<= , que é:

Passo 10

Para derivar a norma, usamos a derivada da raiz e a regra do produto escalar:
ddt | gamma1 | = 12 raiz lang<= gamma1, gamma1 rang<= cdot 2 lang<= gamma1, gamma1' rang<=
Simplificando:
ddt | gamma1 | = lang<= gamma1, gamma1' rang<= | gamma1 |

Resposta

A derivada do produto misto é:
[ gamma1, gamma2, gamma3 ]' = lang<= gamma1', gamma2 times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2' times gamma3 rang<= + lang<= gamma1, gamma2 times gamma3' rang<=
E a derivada da norma de ddt | gamma1 | = lang<= gamma1, gamma1' rang<= | gamma1 | é:

Exercícios relacionados