Calcule os seguintes limites, explicitando todo o raciocínio desenvolvido.
e) lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Aqui, estamos trabalhando com limites e funções envolvendo raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e usar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, percebemos que se substituirmos diretamente na expressão, teremos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para simplificar frações envolvendo diferenças de raízes é multiplicar e dividir pela expressão conjugada apropriada. No caso da raiz cúbica, usamos a identidade:
raiz[3]x - raiz[3]a = x - araiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]a + raiz[3]a^2
Isso nos ajuda a cancelar o no numerador e denominador.

Passo 4

Aplicando essa identidade na nossa expressão original:
raiz[3]x-raiz[3]ax-a = 1raiz[3]x^2 + raiz[3]xraiz[3]a + raiz[3]a^2
Agora, podemos calcular o limite substituindo por na expressão simplificada.

Passo 5

Substituindo 1raiz[3]a^2 + raiz[3]araiz[3]a + raiz[3]a^2 = 13raiz[3]a^2 :
Porque , e temos três termos iguais no denominador.

Resposta

Então, o limite é:
lim x a raiz[3]x-raiz[3]ax-a = 13raiz[3]a^2

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