Seja f: R longrightarrow R uma função periódica de período T. Mostre que a função
F(x)=integral0^x f
é perí0dica ( de período T ) se e somente se
integral0^T f=0

Passo 1

Então, temos uma função que é periódica com período . A gente quer mostrar que a função também é periódica com o mesmo período se e somente se a integral de de a for igual a zero, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender funções periódicas, propriedades das integrais e como a periodicidade de afeta .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função f(x + T) = f(x) é periódica com período se, para todo , vale que:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função F(x + T) = F(x) . Queremos verificar se é periódica com período , ou seja, se:
para todo .

Passo 4

Vamos calcular F(x + T) = integral0^x + T f(t) , dt :
F(x + T) = integral0^T f(t) , dt + integralT^x + T f(t) , dt
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 5

Usando a propriedade da periodicidade de integralT^x + T f(t) , dt = integral0^x f(u + T) , du = integral0^x f(u) , du = F(x) , sabemos que F(x + T) = integral0^T f(t) , dt + F(x) . Então, na segunda integral, fazemos uma substituição: deixe , então quando , e quando , . Assim:
Portanto, temos:

Passo 6

Para que integral0^T f(t) , dt = 0 seja verdade para todo F(x + T) = 0 + F(x) = F(x) , a única possibilidade é que:
Isso garante que:
Então, será periódica com período se .

Passo 7

Agora, vamos verificar o sentido contrário: se F(x + T) = integral0^x + T f(t) , dt = integral0^T f(t) , dt + integralT^x + T f(t) , dt = integral0^T f(t) , dt + F(x) é periódica com período integral0^T f(t) , dt + F(x) = F(x) , então devemos ter integral0^T f(t) , dt = 0 .
Assumindo que , então:
Como , temos:
Subtraindo dos dois lados:
Portanto, se é periódica com período , então .

Resposta

Assim, mostramos que a função é periódica com período se e somente se .

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