f(x, y)=x^2y-y^mux^2 v. Encontre partial fpartial x, partial fpartial y, partial^2+partial x^2, partial^2 tpartial y^2 e partial^2+partial x partial y.

Passo 1

A questão apresenta a função f(x,y)=x^2y-y^mux^2,v e pede as derivadas parciais de primeira ordem ( fx e fy), de segunda ordem puras ( fxx e fyy) e mista ( fxy). Vamos usar regras de potência e produto constante.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, escrevemos f(x,y)=x^2y^-1-v^-1y^mu x^-2. Derivando em relação a x: o termo x^2y^-1 2x,y^-1 e o termo -v^-1y^mu x^-2 -2)(-v^-1y^mu)x^-3=2v^-1y^mu x^-3. Assim,
partial fpartial x=2xy+2y^muv,x^3

Passo 3

Para achar partial fpartial y, derivamos x^2y^-1 em y: -x^2y^-2, e -v^-1y^mu x^-2 em y: -v^-1x^-2)mu y^mu-1=-mu y^mu-1v,x^2 Então,
partial fpartial y=-x^2y^2-mu y^mu-1v,x^2

Passo 4

Para fxx=partialx( fx), derivamos fx=2x y^-1+2v^-1y^mu x^-3 em x:
partial^2 fpartial x^2=2y^-1+2v^-1y^mucdot(-3)x^-4 =2y-6y^muv,x^4

Passo 5

Para fyy=partialy( fy), derivamos fy=-x^2y^-2-mu v^-1y^mu-1x^-2 em y:
partial^2 fpartial y^2=2x^2y^-3-mu v^-1x^-2cdot(mu-1)y^mu-2 =2x^2y^3-mu(mu-1)y^mu-2v,x^2

Passo 6

Para a mista fxy=partialy(fx), derivamos fx=2x y^-1+2v^-1y^mu x^-3 em y:
partial^2 fpartial xpartial y=-2x y^-2+2v^-1x^-3mu y^mu-1 =-2xy^2+2mu y^mu-1v,x^3

Resposta

fx=2xy+2y^muv,x^3, fy=-x^2y^2-mu y^mu-1v,x^2,
fxx=2y-6y^muv,x^4, fyy=2x^2y^3-mu(mu-1)y^mu-2v,x^2, fxy=-2xy^2+2mu y^mu-1v,x^3

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