Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a técnica de substituição. Precisamos identificar uma parte da expressão que, quando substituída, simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ u = \arctan x $. Isso significa que estamos definindo $ u $ como a função arco-tangente de $ x $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{du}{dx} $. Sabemos que $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{x^{2}+1} $. Então, temos:
Passo 4
Vamos rearranjar essa expressão para encontrar $ dx $ em termos de $ du $:
Mas na nossa integral original, já temos $ \frac{1}{x^{2}+1} , dx $, então substituindo:
Passo 5
Substituindo $ u $ e $ du $ na integral original, ficamos com:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ u^{2} $ em relação a $ u $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, voltamos à variável original substituindo $ u = \arctan x $:
Resposta
A integral é igual a
, onde $ C $ é a constante de integração.