integral (arctg x)^2x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral (arctan x)^2x^2+1 , dx. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a técnica de substituição. Precisamos identificar uma parte da expressão que, quando substituída, simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar $ u = \arctan x $. Isso significa que estamos definindo $ u $ como a função arco-tangente de $ x $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{du}{dx} $. Sabemos que $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{x^{2}+1} $. Então, temos:
u

Passo 4

Vamos rearranjar essa expressão para encontrar $ dx $ em termos de $ du $:
dx
Mas na nossa integral original, já temos $ \frac{1}{x^{2}+1} , dx $, então substituindo:
du

Passo 5

Substituindo $ u $ e $ du $ na integral original, ficamos com:
u

Passo 6

Agora, vamos integrar $ u^{2} $ em relação a $ u $:
u^2
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo $ u = \arctan x $:
u = arctan x

Resposta

A integral é igual a (arctan x)^33 + C, onde $ C $ é a constante de integração.

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