[3,0] Encontres os valores máximo e mínimo absolutos de f(x, y)=x^{2}+x y+y^{2}-3 x+3 y sobre a região triangular cortada no primeiro quadrante pela reta x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
f(x,y)=x^{2}+x\,y+y^{2}-3x+3y
na região triangular do primeiro quadrante determinada pelos eixos e pela reta x+y=4. Este é um problema de extremos de função de duas variáveis em conjunto fechado: devemos achar pontos críticos internos via gradiente e depois analisar cada aresta do triângulo.

Passo 2

Calcular o gradiente de f\): \[\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y-3,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x+2y+3.
Igualando a zero:
\begin{cases} 2x+y-3=0,\\\ x+2y+3=0, \end{cases}
resolvendo obtemos o ponto crítico (,(x,y)=(3,-3)].

Passo 3

Verificar se (3,-3) pertence à região: como y=-3<0, ele está fora do triângulo. Logo não há extremos internos.

Passo 4

Analisar a aresta x=0, com y\in[0,4].
Substituindo em f:
f(0,y)=y^2+3y.
Derivando em relação a y:
\frac{d}{dy}(y^2+3y)=2y+3=0\implies y=-\tfrac32\\ (\text{fora de }[0,4]).
Portanto os candidatos são nos extremos:
f(0,0)=0,\quad f(0,4)=16+12=28.

Passo 5

Analisar a aresta y=0, com x\in[0,4].
Substituindo em f:
f(x,0)=x^2-3x.
Derivando:
\frac{d}{dx}(x^2-3x)=2x-3=0\implies x=\tfrac32.
Calculando:
f\bigl(\tfrac32,0\bigr)=\bigl(\tfrac32\bigr)^2-3\cdot\tfrac32 =\tfrac94-\tfrac92=-\tfrac94.
Nos extremos:
f(0,0)=0,\quad f(4,0)=16-12=4.

Passo 6

Analisar a aresta x+y=4. Parametrizar x=t, y=4-t, t\in[0,4]. Então
f(t,4-t)=t^2+t(4-t)+(4-t)^2-3t+3(4-t)=t^2-10t+28.
Derivando:
\frac{d}{dt}(t^2-10t+28)=2t-10=0\implies t=5\\ (\text{fora de }[0,4]).
Os valores nos extremos t=0 e t=4 já foram calculados: f(0,4)=28, f(4,0)=4.

Passo 7

Comparar todos os valores obtidos:
f\bigl(\tfrac32,0\bigr)=-\tfrac94,\quad f(0,0)=0,\quad f(4,0)=4,\quad f(0,4)=28.
Logo, o mínimo absoluto é -\tfrac94 em \bigl(\tfrac32,0\bigr) e o máximo absoluto é 28 em (0,4).

Resposta

Mínimo absoluto: -\tfrac94 em \bigl(\tfrac32,0\bigr).
Máximo absoluto: 28 em (0,4).

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