Encontres os valores máximo e mínimo absolutos de
sobre a região triangular cortada no primeiro quadrante pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
na região triangular do primeiro quadrante determinada pelos eixos e pela reta
. Este é um problema de extremos de função de duas variáveis em conjunto fechado: devemos achar pontos críticos internos via gradiente e depois analisar cada aresta do triângulo.
Passo 2
Calcular o gradiente de
Igualando a zero:
resolvendo obtemos o ponto crítico (,(x,y)=(3,-3)].
Passo 3
Verificar se
pertence à região: como
, ele está fora do triângulo. Logo não há extremos internos.
Passo 4
Analisar a aresta
, com
.
Substituindo em :
Substituindo em
Derivando em relação a
:
Portanto os candidatos são nos extremos:
Passo 5
Analisar a aresta
, com
.
Substituindo em :
Substituindo em
Derivando:
Calculando:
Nos extremos:
Passo 6
Analisar a aresta
. Parametrizar
,
,
. Então
Derivando:
Os valores nos extremos
e
já foram calculados:
,
.
Passo 7
Comparar todos os valores obtidos:
Logo, o mínimo absoluto é
em
e o máximo absoluto é
em
.
Resposta
Mínimo absoluto:
em
.
Máximo absoluto: em
.
Máximo absoluto: