Esboce a região delimitada pelas curva y=\mathrm{e}^{-x}, x=0 \mathrm{e} y=0. Encontre a área dessa região.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=e^{-x}, a reta vertical x=0 e a reta horizontal y=0, e pede (1) o esboço da região comum a essas três fronteiras no primeiro quadrante e (2) a área dessa região. Vamos usar integrais impróprias para calcular a área sob a curva.

Passo 2

Para esboçar e entender os limites da região, identificamos as interseções:
  • Entre y=e^{-x} e x=0 temos o ponto (0,1).
  • Entre y=e^{-x} e y=0 não há ponto finito, mas \lim_{x\to\infty}e^{-x}=0.
    Logo a região está contida em
\{(x,y)\mid x\ge0,\;0\le y\le e^{-x}\},
isto é, o “pedaço” abaixo da curva y=e^{-x}, acima de y=0, e à direita de x=0.

Passo 3

A área A dessa região é dada pela integral imprópria
A = \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.

Passo 4

Calculemos a integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b} e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{b} = \lim_{b\to\infty}\bigl(-e^{-b}+e^{0}\bigr) = 1.

Resposta

A área da região é 1.

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