A região R , delimitada pelas curvas y=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}, y=9 e x=0, é girada ao redor do eixo y. Encontre o volume do sólido resultante.

Passo 1

O enunciado dá a região R no primeiro quadrante, limitada por
y = \Bigl(\frac{x}{2}\Bigr)^{2},\quad y=9,\quad x=0
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por método dos discos (fatias perpendiculares ao eixo de rotação).

Passo 2

Para cada y entre 0 e 9, a fatia horizontal em y gera um disco de raio igual ao valor máximo de x na região, isto é,
x_{\text{max}}(y)=2\sqrt{y}.
O volume fica
V = \int_{y=0}^{9} \pi \bigl[x_{\text{max}}(y)\bigr]^{2}\,dy.
Como \bigl[2\sqrt{y}\bigr]^{2}=4y, temos
V = \int_{0}^{9} \pi \,(4y)\,dy =4\pi \int_{0}^{9} y\,dy.

Passo 3

Calculando a integral:
4\pi \int_{0}^{9} y\,dy =4\pi \,\biggl[\frac{y^{2}}{2}\biggr]_{0}^{9} =4\pi \cdot \frac{9^{2}}{2} =4\pi \cdot \frac{81}{2} =162\pi.

Resposta

V = 162\pi.

Exercícios relacionados