Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^{2}+4 y^{2}-4 x y+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}-4xy+2
e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e completar o quadrado (ou estudar a Hessiana) para decidir a natureza de cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
\displaystyle f_x=2x-4y, então
2x-4y=0\quad\Longrightarrow\quad x=2y.
\displaystyle f_y=8y-4x, então
8y-4x=0\quad\Longrightarrow\quad 2y-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=2y.
Ambas dão a mesma condição. Portanto os pontos críticos são todos os pares (x,y) tais que
x=2y.

Passo 3

Para classificar, completamos o quadrado:
x^{2}+4y^{2}-4xy = (x-2y)^{2}.
Logo
f(x,y)=(x-2y)^{2}+2.
Como (x-2y)^{2}\ge0 para todo (x,y), concluímos que
f(x,y)\ge2
e a igualdade ocorre exatamente quando x-2y=0. Assim toda a reta x=2y é um vale de valor mínimo global f=2. Não há máximos locais (a função cresce indefinidamente fora dessa reta) nem pontos de sela.

Resposta

Os mínimos locais (na verdade globais) ocorrem em todos os pontos (x,y) com x=2y, onde
f_{\min}=2.
Não existem máximos locais nem pontos de sela.

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