Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e classificar cada ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e completar o quadrado (ou estudar a Hessiana) para decidir a natureza de cada ponto.
Para isso vamos usar derivadas parciais para achar pontos críticos e completar o quadrado (ou estudar a Hessiana) para decidir a natureza de cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
, então
Ambas dão a mesma condição. Portanto os pontos críticos são todos os pares
tais que
Passo 3
Para classificar, completamos o quadrado:
Logo
Como
para todo
, concluímos que
e a igualdade ocorre exatamente quando
. Assim toda a reta
é um vale de valor mínimo global
. Não há máximos locais (a função cresce indefinidamente fora dessa reta) nem pontos de sela.
Resposta
Os mínimos locais (na verdade globais) ocorrem em todos os pontos
com
, onde
Não existem máximos locais nem pontos de sela.