[2,0] a) Ache a, b \in \mathbb{R} tais que o intervalo [a, b] contem uma raiz de f(x)=e^{x}+\cos (x). Justifique sua resposta.
b) O intervalo encontrado no item a) contém uma única raiz ? Justifique sua resposta.
c) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da menor raiz real positiva, levando em consideraçāo a tolerância \varepsilon=10^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=e^{x}+\cos(x) e pede três coisas:
  • (a) Achar a,b\in\mathbb{R} tais que o intervalo [a,b] contenha uma raiz de f. Justificar.
  • (b) Dizer se o intervalo encontrado no item (a) contém uma única raiz. Justificar.
  • (c) Usando o método da bissecção, determinar o valor aproximado da menor raiz real positiva, com tolerância \varepsilon=10^{-2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=e^{x}+\cos(x).
  • A tolerância pedida para (c) é \varepsilon=10^{-2}.

Passo 2

Justificativa da existência de uma raiz num intervalo (teoria usada).
  • Teorema do valor intermediário (TVI): se uma função g é contínua em [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
  • Observação: f(x)=e^{x}+\cos(x) é soma de funções contínuas ( e^{x} e \cos x), portanto f é contínua em \mathbb{R}. Logo podemos aplicar o TVI sempre que encontrarmos pontos com sinais opostos.
Escolha do intervalo para aplicar o TVI.
  • Vou usar os pontos x=-\pi e x=-\dfrac{\pi}{2} porque são pontos com valores de cosseno conhecidos e fáceis de avaliar.
  • Calcular f nesses pontos (aqui estou usando valores que peguei diretamente porque \cos em múltiplos de \pi/2 tem valores exatos): f(-\pi)=e^{-\pi}+\cos(-\pi)=e^{-\pi}-1.Sabendo que e^{-\pi}\approx 0{,}0432, obtemos f(-\pi)\approx -0{,}9568<0. f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2}+\cos\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=e^{-\pi/2}+0\approx 0{,}2079>0.
  • Como f(-\pi)<0 e f(-\pi/2)>0 e f é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz \xi em \bigl(-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr). Portanto um intervalo que contém uma raiz é [a,b]=\bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Unicidade da raiz no intervalo (argumento usado).
  • Para garantir unicidade é suficiente mostrar que f é estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) nesse intervalo, pois uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz.
  • Calcule a derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+\cos x\bigr)=e^{x}-\sin x.
  • Agora avalie o sinal de f'(x) para x\in\bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr].
    • Para esses x temos \sin x\le 0 (pois entre -\pi e -\tfrac{\pi}{2} o seno é negativo ou nulo).
    • Portanto -\sin x\ge 0, e como e^{x}>0 para todo x, conclui-se que f'(x)=e^{x}-\sin x = e^{x}+(-\sin x) \ge e^{x} >0.
    • Logo f'(x)>0 em todo o intervalo \bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr], o que mostra que f é estritamente crescente ali.
  • Conclusão: existe exatamente uma raiz em \bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Assim o intervalo do item (a) contém uma única raiz.

Passo 4

Comentário sobre existência de raízes positivas (esclarecimento importante).
  • Antes de aplicar bissecção para procurar uma raiz positiva, é preciso verificar se existe alguma raiz com x>0.
  • Se x>0 então e^{x}>1. Como \cos x\ge -1 para todo x, temos f(x)=e^{x}+\cos x \ge e^{x}-1>0quando x>0. Portanto f(x)>0 para todo x>0 e não existe raiz real positiva.
  • Conclusão: não há raízes positivas e, portanto, não faz sentido aplicar o método da bissecção para encontrar uma “menor raiz real positiva” — essa raiz simplesmente não existe.

Passo 5

Aplicação prática do método da bissecção (para a raiz que existe em \bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr]), mostrando as iterações até atender a tolerância.
  • Vou executar a bissecção no intervalo inicial [a_0,b_0]=\bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr]. Critério de paragem: parar quando o comprimento do intervalo b_n-a_n\le \varepsilon (aqui \varepsilon=10^{-2}). Isso garante que a incerteza no lugar da raiz é \le 10^{-2}.
  • Valores iniciais numéricos (aproximações usadas nas contas):
    -\pi\approx -3{,}14159265,\qquad -\frac{\pi}{2}\approx -1{,}57079633.
  • Iterações (mostro ponto médio m e o sinal de f(m); usei valores exatos de cosseno quando possível e aproximações numéricas para e^{x}):
    1. m_1=\dfrac{-\pi+(-\pi/2)}{2}=-\dfrac{3\pi}{4}\approx -2{,}35619449.
      f(m_1)=e^{m_1}+\cos(m_1)\approx 0{,}0940-0{,}7071\approx -0{,}6131 (negativo). Novo intervalo: [-2{,}35619449,\,-1{,}57079633].
    2. m_2\approx -1{,}96349541.
      f(m_2)\approx 0{,}14086-0{,}38268\approx -0{,}24182 (negativo). Novo intervalo: [-1{,}96349541,\,-1{,}57079633].
    3. m_3\approx -1{,}76714587.
      f(m_3)\approx 0{,}1701-0{,}19509\approx -0{,}0250 (negativo). Novo intervalo: [-1{,}76714587,\,-1{,}57079633].
    4. m_4\approx -1{,}66897110.
      f(m_4)\approx 0{,}1889-0{,}09802\approx +0{,}0909 (positivo). Novo intervalo: [-1{,}76714587,\,-1{,}66897110].
    5. m_5\approx -1{,}71805849.
      f(m_5)\approx 0{,}1798-0{,}1466\approx +0{,}0332 (positivo). Novo intervalo: [-1{,}76714587,\,-1{,}71805849].
    6. m_6\approx -1{,}74260218.
      f(m_6)\approx 0{,}1749-0{,}1736\approx +0{,}0013 (positivo). Novo intervalo: [-1{,}76714587,\,-1{,}74260218].
    7. m_7\approx -1{,}75487403.
      f(m_7)\approx -0{,}0111 (negativo). Novo intervalo: [-1{,}75487403,\,-1{,}74260218].
    8. m_8\approx -1{,}748738105.
      f(m_8)\approx -0{,}0051 (negativo). Novo intervalo final: [-1{,}748738105,\,-1{,}74260218].
  • Depois da 8ª iteração o comprimento do intervalo é
    b_8-a_8\approx -1{,}74260218-(-1{,}748738105)=0{,}006135925<0{,}01=\varepsilon,
    portanto o critério de paragem foi satisfeito.
  • A aproximação da raiz dada pela bissecção é o ponto médio final:
    m_{\text{final}}=\frac{-1{,}748738105+(-1{,}74260218)}{2}\approx -1{,}74567014.
    Podemos arredondar conforme a tolerância pedida; com \varepsilon=10^{-2} é suficiente dar duas casas decimais: -1{,}75. Uma aproximação mais precisa obtida acima é -1{,}7457.

Passo 6

Resumo final e incentivo.
  • Resumindo: encontramos e justificamos um intervalo com raiz, mostramos unicidade no intervalo, verificamos que não existe raiz positiva e, para praticar a bissecção, aproximámos a raiz existente por \approx -1{,}7457 com erro garantido inferior a 10^{-2}. Fica tranquilo: precisamos só verificar o sinal em extremos, aplicar o TVI e, se quiser uma aproximação numérica, usar bissecção até o comprimento do intervalo ficar pequeno — você já consegue fazer isso na prova!

Resposta

a) [a,b]=\bigl[-\pi,\,-\tfrac{\pi}{2}\bigr].\n
b) Sim. Há exatamente uma raiz em \bigl[-\pi,\,-\tfrac{\pi}{2}\bigr].\n
c) Não existe raiz real positiva (logo não há “menor raiz real positiva”). (A raiz real existente em \bigl[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}\bigr] aproximada por bissecção com \varepsilon=10^{-2} é -1{,}7457.)

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