a) Ache
tais que o intervalo
contem uma raiz de
. Justifique sua resposta.
b) O intervalo encontrado no item a) contém uma única raiz ? Justifique sua resposta.
c) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da menor raiz real positiva, levando em consideraçāo a tolerância
.
b) O intervalo encontrado no item a) contém uma única raiz ? Justifique sua resposta.
c) Usando o método da bissecção determine o valor aproximado da menor raiz real positiva, levando em consideraçāo a tolerância
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Achar
tais que o intervalo contenha uma raiz de . Justificar. - (b) Dizer se o intervalo encontrado no item (a) contém uma única raiz. Justificar.
- (c) Usando o método da bissecção, determinar o valor aproximado da menor raiz real positiva, com tolerância
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - A tolerância pedida para (c) é
.
Passo 2
Justificativa da existência de uma raiz num intervalo (teoria usada).
- Teorema do valor intermediário (TVI): se uma função
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe tal que . - Observação:
é soma de funções contínuas ( e ), portanto é contínua em . Logo podemos aplicar o TVI sempre que encontrarmos pontos com sinais opostos.
Escolha do intervalo para aplicar o TVI.
- Vou usar os pontos
e porque são pontos com valores de cosseno conhecidos e fáceis de avaliar. - Calcular
nesses pontos (aqui estou usando valores que peguei diretamente porque em múltiplos de tem valores exatos): Sabendo que , obtemos . - Como
e e é contínua, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em . Portanto um intervalo que contém uma raiz é .
Passo 3
Unicidade da raiz no intervalo (argumento usado).
- Para garantir unicidade é suficiente mostrar que
é estritamente monótona (por exemplo, estritamente crescente) nesse intervalo, pois uma função estritamente crescente pode ter no máximo uma raiz. - Calcule a derivada:
- Agora avalie o sinal de
para . - Para esses
temos (pois entre e o seno é negativo ou nulo). - Portanto
, e como para todo , conclui-se que - Logo
em todo o intervalo , o que mostra que é estritamente crescente ali.
- Para esses
- Conclusão: existe exatamente uma raiz em
. Assim o intervalo do item (a) contém uma única raiz.
Passo 4
Comentário sobre existência de raízes positivas (esclarecimento importante).
- Antes de aplicar bissecção para procurar uma raiz positiva, é preciso verificar se existe alguma raiz com
. - Se
então . Como para todo , temos quando . Portanto para todo e não existe raiz real positiva. - Conclusão: não há raízes positivas e, portanto, não faz sentido aplicar o método da bissecção para encontrar uma “menor raiz real positiva” — essa raiz simplesmente não existe.
Passo 5
Aplicação prática do método da bissecção (para a raiz que existe em
), mostrando as iterações até atender a tolerância.
-
Vou executar a bissecção no intervalo inicial
. Critério de paragem: parar quando o comprimento do intervalo (aqui ). Isso garante que a incerteza no lugar da raiz é . -
Valores iniciais numéricos (aproximações usadas nas contas):
-
Iterações (mostro ponto médio
e o sinal de ; usei valores exatos de cosseno quando possível e aproximações numéricas para ): -
.
(negativo). Novo intervalo: . -
.
(negativo). Novo intervalo: . -
.
(negativo). Novo intervalo: . -
.
(positivo). Novo intervalo: . -
.
(positivo). Novo intervalo: . -
.
(positivo). Novo intervalo: . -
.
(negativo). Novo intervalo: . -
.
(negativo). Novo intervalo final: .
-
-
Depois da 8ª iteração o comprimento do intervalo éportanto o critério de paragem foi satisfeito.
-
A aproximação da raiz dada pela bissecção é o ponto médio final:Podemos arredondar conforme a tolerância pedida; com
é suficiente dar duas casas decimais: . Uma aproximação mais precisa obtida acima é .
Passo 6
Resumo final e incentivo.
- Resumindo: encontramos e justificamos um intervalo com raiz, mostramos unicidade no intervalo, verificamos que não existe raiz positiva e, para praticar a bissecção, aproximámos a raiz existente por
com erro garantido inferior a . Fica tranquilo: precisamos só verificar o sinal em extremos, aplicar o TVI e, se quiser uma aproximação numérica, usar bissecção até o comprimento do intervalo ficar pequeno — você já consegue fazer isso na prova!
Resposta
a)
.\n
b) Sim. Há exatamente uma raiz em .\n
c) Não existe raiz real positiva (logo não há “menor raiz real positiva”). (A raiz real existente em aproximada por bissecção com
é
.)
b) Sim. Há exatamente uma raiz em
c) Não existe raiz real positiva (logo não há “menor raiz real positiva”). (A raiz real existente em