[3] [1.5 pontos] Em um canal de transmissão com ruído, são transmitidas independentemente 5 cópias de um mesmo pacote. Seja 0.6 a probabilidade de transmissão bem sucedida de qualquer uma das cópias. Considere o número de cópias enviadas com sucesso como sendo a variável aleatória de interesse.
© Seja
uma variável definida como o número de cópias transmitidas até que três com sucesso sejam identificadas. Qual a probabilidade desse numero ser igual a 5? Qual a média de
?
© Seja
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: a gente manda cópias de um mesmo pacote por um canal barulhento, cada cópia tem 0,6 de chance de ser recebida com sucesso e tudo é independente. Definimos Y = “quantas cópias até ver 3 chegarem com sucesso”. Perguntam: (1) Qual a probabilidade de Y = 5? (2) Qual a média de Y?
Conteúdo: distribuição Binomial Negativa. Vamos usar a fórmula do pmf da Binomial Negativa e a fórmula da esperança.
Conteúdo: distribuição Binomial Negativa. Vamos usar a fórmula do pmf da Binomial Negativa e a fórmula da esperança.
Passo 2
Teoria da Binomial Negativa (ou Pascal): se você quer r sucessos, Y é o número de tentativas até o r-ésimo sucesso. A função de massa é
onde
• = número de sucessos buscados (aqui 3)
• = probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,6)
• = número total de tentativas até o r-ésimo sucesso.
Esse conta de quantas maneiras distribuir os
sucessos nas primeiras
tentativas, deixando a
-ésima como sucesso.
•
•
•
Esse
Passo 3
Agora, para
, temos
,
,
.
Então
Então
Calculemos por partes:
,
,
.
Multiplicando:
Multiplicando:
Passo 4
Para a média da Binomial Negativa, vale a fórmula simples
Aqui
e
, então
Resposta
P(Y=5) = 0,20736
E[Y] = 5
E[Y] = 5