[3] [1.5 pontos] Em um canal de transmissão com ruído, são transmitidas independentemente 5 cópias de um mesmo pacote. Seja 0.6 a probabilidade de transmissão bem sucedida de qualquer uma das cópias. Considere o número de cópias enviadas com sucesso como sendo a variável aleatória de interesse.
© Seja Y uma variável definida como o número de cópias transmitidas até que três com sucesso sejam identificadas. Qual a probabilidade desse numero ser igual a 5? Qual a média de Y?

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: a gente manda cópias de um mesmo pacote por um canal barulhento, cada cópia tem 0,6 de chance de ser recebida com sucesso e tudo é independente. Definimos Y = “quantas cópias até ver 3 chegarem com sucesso”. Perguntam: (1) Qual a probabilidade de Y = 5? (2) Qual a média de Y?
Conteúdo: distribuição Binomial Negativa. Vamos usar a fórmula do pmf da Binomial Negativa e a fórmula da esperança.

Passo 2

Teoria da Binomial Negativa (ou Pascal): se você quer r sucessos, Y é o número de tentativas até o r-ésimo sucesso. A função de massa é
P(Y=k) ;=; binomk-1r-1,p^r,(1-p)^,k-r,
onde
= número de sucessos buscados (aqui 3)
= probabilidade de sucesso em cada tentativa (0,6)
= número total de tentativas até o r-ésimo sucesso.
Esse conta de quantas maneiras distribuir os sucessos nas primeiras tentativas, deixando a -ésima como sucesso.

Passo 3

Agora, para P(Y=5) =binom5-13-1,(0.6)^3,(1-0.6)^5-3 =binom42,(0.6)^3,(0.4)^2 , temos P(Y=5)=6times0.216times0.16=6times0.03456=0.20736 , , .
Então
Calculemos por partes:
,
,
.
Multiplicando:

Passo 4

Para a média da Binomial Negativa, vale a fórmula simples
E[Y]=rp
Aqui E[Y]=30.6=5 e , então

Resposta

P(Y=5) = 0,20736
E[Y] = 5

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