Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote Xi=0 se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e Xi=1 se for preta. Considere a amostra aleatoria X1, X2, ldots, X9.
Encontre o valor esperado da variancia amostral S^2.

Passo 1

Beleza! Aqui temos 9 sorteios com reposição de uma urna que tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Definimos
  • se a bola for preta,
  • se for branca.
    Então é uma amostra aleatória de variáveis Bernoulli.
    O conteúdo é: Bernoulli, esperança, variância e variância amostral.
    Para resolver, vamos precisar:
  1. calcular e ,
  2. escrever a definição da variância amostral ,
  3. usar que é igual à variância da população (propriedade de estimador não-viesado), e comprovar isso rapidamente.

Passo 2

Primeiro, a distribuição de E[Xi] = 1cdot tfrac23 + 0cdot tfrac13 = tfrac23 :
P(bola preta) = Var(Xi) = p(1-p) = tfrac23l(1-tfrac23r) = tfrac23cdottfrac13 = tfrac29 , P(branca) = .
Então
E como é Bernoulli,

Passo 3

A variância amostral S^2 ;=; 1n-1sumi=1^n (Xi - overline X)^2, onde overline X = 1nsumi=1^n Xi para é
Isso mede o quanto os se afastam da média amostral .

Passo 4

Agora vamos ver sumi=1^n (Xi - overline X)^2 = sumi=1^n Xi^2 ;-; n,overline X^2 . A gente usa essa identidade clássica:
sumi=1^n Xi^2 = sumi=1^n Xi
Como E[overline X^2] = Var(overline X) + l(E[overline X]r)^2 é 0 ou 1, temos Var(overline X) = Var(Xi)n = 2/9n, E[overline X] = E[Xi] = tfrac23 . Logo
E a gente trata assim:
Mas é média de Bernoullis independentes, então

Passo 5

Vamos calcular El[sum Xi - n,overline X^2r] = n,E[Xi] - n,E[overline X^2] :
n,E[Xi] = ncdot tfrac23, E[overline X^2] = 2/9n + l(tfrac23r)^2 = 29n + 49
Substituindo:
El[sum (Xi-overline X)^2r] = ncdottfrac23 - nl(29n + tfrac49r) = ncdottfrac23 - 29 - ncdottfrac49
Então
= nl(tfrac23 - tfrac49r) - tfrac29 = ncdottfrac29 - tfrac29 = (n-1),tfrac29
Agrupando em termos de E[S^2] = 1n-1,El[sum (Xi-overline X)^2r] = 1n-1,(n-1),29 = 29 :
Finalmente,

Resposta

E[S^2] ;=; 29

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