Bolas sao sorteadas com reposição de uma urna contendo 1 bola branca e 2 bolas pretas. Denote se a bola retirada no i-ésimo sorteio for branca e se for preta. Considere a amostra aleatoria .
Encontre o valor esperado da variancia amostral .
Passo 1
Beleza! Aqui temos 9 sorteios com reposição de uma urna que tem 1 bola branca e 2 bolas pretas. Definimos
se a bola for preta,
se for branca.
Então é uma amostra aleatória de variáveis Bernoulli.
O conteúdo é: Bernoulli, esperança, variância e variância amostral.
Para resolver, vamos precisar:
calcular e ,
escrever a definição da variância amostral ,
usar que é igual à variância da população (propriedade de estimador não-viesado), e comprovar isso rapidamente.
Passo 2
Primeiro, a distribuição de :
P(bola preta) = , P(branca) = .
Então
E como é Bernoulli,
Passo 3
A variância amostral para é
Isso mede o quanto os se afastam da média amostral .
Passo 4
Agora vamos ver sumi=1^n (Xi - overline X)^2 = sumi=1^n Xi^2 ;-; n,overline X^2 . A gente usa essa identidade clássica:
sumi=1^n Xi^2 = sumi=1^n Xi
Como E[overline X^2] = Var(overline X) + l(E[overline X]r)^2 é 0 ou 1, temos Var(overline X) = Var(Xi)n = 2/9n, E[overline X] = E[Xi] = tfrac23 . Logo